Question

Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0,8. Найти вероятность того, что в 144 испытаниях событие наступит 120 раз.

Answer 1

Добрый день!

Чтобы найти вероятность того, что в 144 испытаниях событие наступит 120 раз, мы можем воспользоваться формулой для вероятности биномиального распределения.

Формула для вероятности биномиального распределения выглядит следующим образом:

P(X = k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k),

где P(X = k) - вероятность того, что событие наступит k раз,
C(n, k) - количество сочетаний из n по k (это число способов выбрать k объектов из n),
p - вероятность наступления события в одном испытании,
n - общее количество испытаний.

В данном случае, чтобы найти вероятность наступления события 120 раз в 144 испытаниях, нужно подставить значения в формулу:

n = 144 (общее количество испытаний),
k = 120 (количество наступлений события),
p = 0,8 (вероятность наступления события в каждом испытании).

Теперь давайте пошагово решим эту задачу.

Шаг 1: Найдем количество сочетаний C(n, k).

C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)

В нашем случае:

C(144, 120) = 144! / (120! * (144-120)!)

Вычисляем факториалы:
144! = 144 * 143 * 142 * ... * 3 * 2 * 1,
120! = 120 * 119 * 118 * ... * 3 * 2 * 1,
(144-120)! = 24 * 23 * 22 * ... * 3 * 2 * 1.

Теперь можно подставить значения и вычислить количество сочетаний.

C(144, 120) = (144 * 143 * 142 * ... * 3 * 2 * 1) / ((120 * 119 * 118 * ... * 3 * 2 * 1) * (24 * 23 * 22 * ... * 3 * 2 * 1))

Шаг 2: Найдем значения p^k и (1-p)^(n-k).

p^k = 0,8^120,
(1-p)^(n-k) = (1-0,8)^(144-120).

Вычислим значения:
0,8^120 ≈ 1,09951162e-09,
(1-0,8)^(144-120) = 0,8^24 ≈ 0,0002950476.

Шаг 3: Вычисляем вероятность.

P(X = 120) = C(144, 120) * (0,8^120) * (0,2^24)

P(X = 120) ≈ (4,77053892e+41) * (1,09951162e-09) * (0,0002950476)

Получаем окончательный ответ:
P(X = 120) ≈ 1,31933002e+25

Таким образом, вероятность того, что в 144 испытаниях событие наступит 120 раз, примерно равна 1,31933002e+25 или 0,000000000000000000000005.