Для решения данного дифференциального уравнения сначала введем новую переменную, которая будет выражать отношение y к x:
u = y/x
Далее найдем производную отношения y к x:
y' = u'x + u
Теперь подставим полученные значения в исходное уравнение:
2xyy' = y² - 4x²
2x(u'x + u) = (u*x)² - 4x²
2u'x² + 2ux = u²x² - 4x²
2u'x² - u²x² + 2ux + 4x² = 0
Объединим члены с одинаковыми степенями:
(2u' - u²)x² + (2u + 4)x = 0
Теперь проведем следующий шаг. Поскольку это однородное дифференциальное уравнение, мы можем предположить, что x не равно нулю, и разделить обе стороны уравнения на x²:
(2u' - u²) + (2u + 4)/x = 0
Полученное уравнение можно представить в виде двух отдельных уравнений:
u = y/x
Далее найдем производную отношения y к x:
y' = u'x + u
Теперь подставим полученные значения в исходное уравнение:
2xyy' = y² - 4x²
2x(u'x + u) = (u*x)² - 4x²
2u'x² + 2ux = u²x² - 4x²
2u'x² - u²x² + 2ux + 4x² = 0
Объединим члены с одинаковыми степенями:
(2u' - u²)x² + (2u + 4)x = 0
Теперь проведем следующий шаг. Поскольку это однородное дифференциальное уравнение, мы можем предположить, что x не равно нулю, и разделить обе стороны уравнения на x²:
(2u' - u²) + (2u + 4)/x = 0
Полученное уравнение можно представить в виде двух отдельных уравнений:
2u' - u² = 0 (уравнение 1)
2u + 4 = 0 (уравнение 2)
Теперь решим эти уравнения по отдельности.
Уравнение 2:
2u + 4 = 0
2u = -4
u = -2
Перейдем теперь к уравнению 1:
2u' - u² = 0
Разделим обе части уравнения на u²:
2u' / u² - 1 = 0
Теперь заменим u' / u² на дифференциал от u:
d(u^-1)/dx = 0
Интегрируем обе стороны уравнения по переменной x:
∫d(u^-1)/dx dx = ∫0 dx
∫(d(u^-1)/dx) dx = x + C
Теперь выполняем интегрирование:
u^-1 = x + C
Вспомнив значение u (y/x), получим:
(y/x)^-1 = x + C
1/(y/x) = x + C
x/y = x + C
Теперь решим полученное уравнение относительно y:
1 = xy + Cy
xy + Cy - 1 = 0
Данное уравнение является общим решением исходного дифференциального уравнения.