Первое уравнение системы задает окружность радиуса 3 с центром в точке (3,4)
Второе уравнение - смещенный на единицу вверх график модуля x, который можно двигать влево или вправо меняя значения параметра (смотрите чертеж в прикр. файлах)
Становится понятно, что при смещении вправо графика модуля наступит такой момент, при котором левая его ветвь будет касаться окружности... После этого момента, графики модуля и окружности будут иметь 4 точки пересечения. Продолжая двигаться вправо, придем к значению 
, которое, как несложно сообразить, соответствует трем точкам пересечения. Наконец, дойдем до такого значения параметра, при котором правая ветвь станет касательной к окружности, снова будет 3 общие точки. Таким образом надо найти при каких значениях параметра наши прямые/ветви являются касательными к окружности.
Из уравнения окружности выделим нижнюю часть, нам интересна только она, ибо только ее касаются прямые:
Затем найдем такой параметр, при котором уравнения:
и
имеют единственные решения. Они сводятся к квадратным:
и
Квадратные уравнения имеют единственное решение при нулевом дискриминанте (соответствует случаю касания графиков). Рассмотрим подробно второе выражение, первое делается аналогично. Его дискриминант:
Получили два значения параметра, лишь одно из них верное. Как выбрать? Т.к. параметр отвечает за смещение влево/вправо графика модуля относительно точки (0,1), то отрицательное значение сместит наш график (вершину угла образованного оранжевой ломаной на чертеже, если дословно) на отрицательную часть оси x, что, очевидно, совершенно неправильный случай.
Таким же образом находим из первого выражения 
Итого получили всего 3 значения параметра при которых система имеет ровно три решения.
Первое уравнение системы задает окружность радиуса 3 с центром в точке (3,4)
Второе уравнение - смещенный на единицу вверх график модуля x, который можно двигать влево или вправо меняя значения параметра (смотрите чертеж в прикр. файлах)
Становится понятно, что при смещении вправо графика модуля наступит такой момент, при котором левая его ветвь будет касаться окружности... После этого момента, графики модуля и окружности будут иметь 4 точки пересечения. Продолжая двигаться вправо, придем к значению
, которое, как несложно сообразить, соответствует трем точкам пересечения. Наконец, дойдем до такого значения параметра, при котором правая ветвь станет касательной к окружности, снова будет 3 общие точки. Таким образом надо найти при каких значениях параметра наши прямые/ветви являются касательными к окружности.
Из уравнения окружности выделим нижнюю часть, нам интересна только она, ибо только ее касаются прямые:
Затем найдем такой параметр, при котором уравнения:
и
имеют единственные решения. Они сводятся к квадратным:
и
Квадратные уравнения имеют единственное решение при нулевом дискриминанте (соответствует случаю касания графиков). Рассмотрим подробно второе выражение, первое делается аналогично. Его дискриминант:
Получили два значения параметра, лишь одно из них верное. Как выбрать? Т.к. параметр отвечает за смещение влево/вправо графика модуля относительно точки (0,1), то отрицательное значение сместит наш график (вершину угла образованного оранжевой ломаной на чертеже, если дословно) на отрицательную часть оси x, что, очевидно, совершенно неправильный случай.
Таким же образом находим из первого выражения
Итого получили всего 3 значения параметра при которых система имеет ровно три решения.