Найти модуль и аргумент чисел z1= - 4 - 4i и z2 = 2+3i Изобразить числа на комплексной плоскости. Представить числа в тригонометрической и показательной форме.
Для начала, давайте определим модуль чисел z1 и z2. Модуль (абсолютная величина) комплексного числа z = a + bi вычисляется по формуле:
|z| = sqrt(a^2 + b^2), где sqrt(x) обозначает квадратный корень из x.
Для числа z1 = -4 - 4i:
a = -4, b = -4
|z1| = sqrt((-4)^2 + (-4)^2) = sqrt(16 + 16) = sqrt(32) = 4sqrt(2)
Для числа z2 = 2 + 3i:
a = 2, b = 3
|z2| = sqrt(2^2 + 3^2) = sqrt(4 + 9) = sqrt(13)
Теперь изобразим числа на комплексной плоскости. На комплексной плоскости горизонтальная ось представляет действительную часть числа, а вертикальная ось - мнимую часть числа.
Для числа z1 = -4 - 4i:
Мы смещаемся влево на 4 единицы по горизонтальной оси (действительная часть), а затем вниз на 4 единицы по вертикальной оси (мнимая часть). Таким образом, числу z1 соответствует точка на плоскости (-4, -4).
Для числа z2 = 2 + 3i:
Мы смещаемся вправо на 2 единицы по горизонтальной оси (действительная часть), а затем вверх на 3 единицы по вертикальной оси (мнимая часть). Таким образом, числу z2 соответствует точка на плоскости (2, 3).
Теперь рассмотрим представление чисел в тригонометрической и показательной форме.
Для числа z1 = -4 - 4i:
В тригонометрической форме комплексного числа z = r(cosθ + isinθ), где r - модуль числа, θ - аргумент числа.
Мы уже вычислили модуль |z1| = 4sqrt(2).
Аргумент числа можно найти с помощью формулы:
θ = atan(b/a), где atan(x) обозначает арктангенс x.
Для числа z1 = -4 - 4i:
a = -4, b = -4
θ = atan((-4)/(-4)) = atan(1) = π/4
Таким образом, числу z1 соответствует тригонометрическое представление 4sqrt(2)(cos(π/4) + isin(π/4)).
В показательной форме комплексного числа z = re^(iθ), где e - основание натурального логарифма.
Для числа z1 = -4 - 4i:
r = |z1| = 4sqrt(2)
θ = π/4
Таким образом, числу z1 соответствует показательное представление 4sqrt(2)e^(iπ/4).
Для числа z2 = 2 + 3i:
Мы уже вычислили модуль |z2| = sqrt(13).
Аргумент числа можно найти с помощью формулы:
θ = atan(b/a), где atan(x) обозначает арктангенс x.
Для числа z2 = 2 + 3i:
a = 2, b = 3
θ = atan(3/2)
Используя калькулятор, получим примерное значение арктангенса: θ ≈ 56.31°.
Таким образом, числу z2 соответствует тригонометрическое представление sqrt(13)(cos(θ) + isin(θ)), где θ ≈ 56.31°.
В показательной форме комплексного числа z = re^(iθ), где e - основание натурального логарифма.
Для числа z2 = 2 + 3i:
r = |z2| = sqrt(13)
θ ≈ 56.31° (в радианах примерно 0.9828)
Таким образом, числу z2 соответствует показательное представление sqrt(13)e^(i0.9828).
Описание и пошаговое решение данного вопроса должны помочь школьнику понять процесс нахождения модуля и аргумента чисел, а также их представления в тригонометрической и показательной форме на комплексной плоскости.
|z| = sqrt(a^2 + b^2), где sqrt(x) обозначает квадратный корень из x.
Для числа z1 = -4 - 4i:
a = -4, b = -4
|z1| = sqrt((-4)^2 + (-4)^2) = sqrt(16 + 16) = sqrt(32) = 4sqrt(2)
Для числа z2 = 2 + 3i:
a = 2, b = 3
|z2| = sqrt(2^2 + 3^2) = sqrt(4 + 9) = sqrt(13)
Теперь изобразим числа на комплексной плоскости. На комплексной плоскости горизонтальная ось представляет действительную часть числа, а вертикальная ось - мнимую часть числа.
Для числа z1 = -4 - 4i:
Мы смещаемся влево на 4 единицы по горизонтальной оси (действительная часть), а затем вниз на 4 единицы по вертикальной оси (мнимая часть). Таким образом, числу z1 соответствует точка на плоскости (-4, -4).
Для числа z2 = 2 + 3i:
Мы смещаемся вправо на 2 единицы по горизонтальной оси (действительная часть), а затем вверх на 3 единицы по вертикальной оси (мнимая часть). Таким образом, числу z2 соответствует точка на плоскости (2, 3).
Теперь рассмотрим представление чисел в тригонометрической и показательной форме.
Для числа z1 = -4 - 4i:
В тригонометрической форме комплексного числа z = r(cosθ + isinθ), где r - модуль числа, θ - аргумент числа.
Мы уже вычислили модуль |z1| = 4sqrt(2).
Аргумент числа можно найти с помощью формулы:
θ = atan(b/a), где atan(x) обозначает арктангенс x.
Для числа z1 = -4 - 4i:
a = -4, b = -4
θ = atan((-4)/(-4)) = atan(1) = π/4
Таким образом, числу z1 соответствует тригонометрическое представление 4sqrt(2)(cos(π/4) + isin(π/4)).
В показательной форме комплексного числа z = re^(iθ), где e - основание натурального логарифма.
Для числа z1 = -4 - 4i:
r = |z1| = 4sqrt(2)
θ = π/4
Таким образом, числу z1 соответствует показательное представление 4sqrt(2)e^(iπ/4).
Для числа z2 = 2 + 3i:
Мы уже вычислили модуль |z2| = sqrt(13).
Аргумент числа можно найти с помощью формулы:
θ = atan(b/a), где atan(x) обозначает арктангенс x.
Для числа z2 = 2 + 3i:
a = 2, b = 3
θ = atan(3/2)
Используя калькулятор, получим примерное значение арктангенса: θ ≈ 56.31°.
Таким образом, числу z2 соответствует тригонометрическое представление sqrt(13)(cos(θ) + isin(θ)), где θ ≈ 56.31°.
В показательной форме комплексного числа z = re^(iθ), где e - основание натурального логарифма.
Для числа z2 = 2 + 3i:
r = |z2| = sqrt(13)
θ ≈ 56.31° (в радианах примерно 0.9828)
Таким образом, числу z2 соответствует показательное представление sqrt(13)e^(i0.9828).
Описание и пошаговое решение данного вопроса должны помочь школьнику понять процесс нахождения модуля и аргумента чисел, а также их представления в тригонометрической и показательной форме на комплексной плоскости.