Question

Найти наибольшее и наименьшее значение функции:
1) f(x)= x³-6x²+9x-4 на отрезке [0;5]
2) f(x) = -3x-2 на отрезке [-1;2] ​

Answer 1

Добрый день! С удовольствием помогу вам решить задачу. Давайте начнем с первой функции.

1) Функция f(x) = x³ - 6x² + 9x - 4 на отрезке [0;5].

Шаг 1: Найдем значения функции на концах отрезка.

Для x = 0:
f(0) = 0³ - 6(0)² + 9(0) - 4 = -4.
Значение функции на левом конце отрезка равно -4.

Для x = 5:
f(5) = 5³ - 6(5)² + 9(5) - 4 = 21.
Значение функции на правом конце отрезка равно 21.

Шаг 2: Ищем критические точки функции для нахождения экстремумов.

Для этого найдем производную функции f'(x):
f'(x) = 3x² - 12x + 9.

Найдем корни уравнения f'(x) = 0 для определения точек, в которых производная равна нулю.

3x² - 12x + 9 = 0, разделим на 3:
x² - 4x + 3 = 0.

Это квадратное уравнение, которое можно решить по формуле дискриминанта.
D = b² - 4ac = (-4)² - 4*1*3 = 16 - 12 = 4.

Так как дискриминант положительный, уравнение имеет два корня.

x₁ = (-b + √D) / 2a = (4 + 2) / 2 = 6 / 2 = 3.
x₂ = (-b - √D) / 2a = (4 - 2) / 2 = 2 / 2 = 1.

Получили две точки, в которых производная равна нулю: x₁ = 3 и x₂ = 1.

Шаг 3: Анализируем значения функции в найденных точках и на концах отрезка.

Теперь нам нужно определить, в каких точках функция достигает наибольшего и наименьшего значения.

1. Подставим значения функции в критические точки:
Для x = 3:
f(3) = 3³ - 6(3)² + 9(3) - 4 = 8.

Для x = 1:
f(1) = 1³ - 6(1)² + 9(1) - 4 = 0.

2. Теперь подставим значения функции в концы отрезка:
Для x = 0:
f(0) = -4.

Для x = 5:
f(5) = 21.

Шаг 4: Ответ.

Наибольшее значение функции равно 21 и достигается в точке x = 5.
Наименьшее значение функции равно -4 и достигается в точке x = 0.

Теперь перейдем ко второй функции.

2) Функция f(x) = -3x - 2 на отрезке [-1;2].

Шаг 1: Найдем значения функции на концах отрезка.

Для x = -1:
f(-1) = -3(-1) - 2 = 1.
Значение функции на левом конце отрезка равно 1.

Для x = 2:
f(2) = -3(2) - 2 = -8.
Значение функции на правом конце отрезка равно -8.

Шаг 2: Вывод.

Наибольшее значение функции равно 1 и достигается при x = -1.
Наименьшее значение функции равно -8 и достигается при x = 2.

Вот и все! Я надеюсь, что мое объяснение было достаточно подробным и понятным. Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать!