ЭТО уравнение, сводящееся к квадратным уравнениям, относительно sin х, cos x или tg x;
5sin2x - 7cos x + 1 = 0
2)уравнение, решаемое разложением левой части на множители
sin 2x + 10cos 2x = 0
3)уравнения, решаемые разложением левой части на множители
sin 2x + 10cos 2x = 0
4) уравнение, сводящееся к квадратному уравнению относительно sin х или cos x;
3cos 2x - 14cos x + 7 = 0
5)уравнения, сводящиеся к однородным уравнениям второй степени.
5sin 2x - 18cos 2x + 14 = 0
16cos x - 11sin x - 4 = 0
Образцы решения некоторых уравнений:
cos 2x + cos2 x + sin x ∙ cos x = 0
cos2 x – sin2 x + cos2 x + sin x ∙ cos x = 0 – однородное уравнение 2-ой степени.
2cos2 x – sin2 x + sin x ∙ cos x = 0 |: cos2 x ≠ 0 (если cos x = 0, то и
sin x = 0, что противоречит основному тригонометрическому тождеству).
2 - tg2x + tg x = 0
tg x = t, t – любое число.
t2 - t - 2 = 0
t1 = 2 t2 = - 1
tg x = 2 2) tg x = - 1
x = arctg 2 + πn, n Z x = - Z
ответ: arctg 2 + πn, n Z; - Z.
4 sin2 x - cos x – 1 = 0
4(1 - cos2 x) - cos x – 1 = 0
4 - 4cos2 x - cos x – 1 = 0
- 4cos2 x - cos x + 3 = 0 | : (- 1)
4cos2 x + cos x - 3 = 0
cos x = t, t [- 1; 1]
4 t2 + t - 3 = 0
D = b2 – 4ac = 1 + 48 = 49
t1 = - 1 t2 =
cos x = - 1 2) cos x =
x = π + 2πn, n Z x = ± arcos + 2πk, k Z
ответ: π + 2πn, n Z; ± arcos + 2πk, k Z.
Выделяем полные квадраты:
для x:
4(x²+2(1/4)x + (1/4)²) -4(1/4)² = 4(x+(1/4))²-(1/4)
для y:
-1(y²+2*2y + 2²) +1*2² = -1(y+2)²+4
В итоге получаем:
4(x+(1/4))²-1(y+2)² = 33/4
Разделим все выражение на 33/4.
Данное уравнение определяет гиперболу с центром в точке:
C(-1/4; -2) и полуосями: a = √33/4 и в = √33/2.
Найдем координаты ее фокусов: F1 и F2.
Параметр c - половина расстояния между фокусами
Определим параметр c: c² = a² + b² = (33/16) + (33/4) = 165/16.
Отсюда с = √(165/16) = √165/4, а F1 = ((-√165/4)-(1/4); -2) и
F2 = ((√165/4)-(1/4); -2).
Рисунок дан в приложении.