Решение 1
Рассмотрим выражение a² + ab + b² – 3(a + b – 1) = a² + (b – 3)a + (b² – 3b + 3) как квадратный трёхчлен относительно a. Его дискриминант равен
– 3(b – 1)² и, следовательно, неположителен. Так как коэффициент при a² положителен, то трёхчлен принимает только неотрицательные значения, значит, a² + ab + b² ≥ 3(a + b – 1) при любых a и b. Равенство достигается тогда и только тогда, когда a = b = 1.
Решение 2
a² + ab + b² – 3(a + b – 1) = (a – 1)² + (b – 1)² + (a – 1)(b – 1), а, как известно, выражение x² + xy + y² всегда неотрицательно.
Решение 3
2(a² + ab + b² – 3(a + b – 1)) = (a – 1)² + (b – 1)² + (a + b – 2)² ≥ 0.
.
x = -1/12
y = 1/12
Пошаговое объяснение:
Домножаем 1 ур на -3:
1) {x + 2y = 1/12 |* -3, 2x-y = -1/4
Приравниваем их левые части:
2) - 3x - 6y = 2x - y
3) - 5x = 5y
4) x = -y
Подставляем x в первоначальное 1 ур:
5) -y + 2y = 1/12
6) y = 1/12
Выражаем x:
7) x = -y
8) x = -1/12