Треугольник ABCABC является остроугольным, так как 62<42+5262<42+52. Отсюда следует, что основания высот находятся на сторонах, а не на их продолжениях. Опустим высоту AA1AA1, и пусть она делит отрезок BCBC на части длиной xx и yy. С одной стороны, x+y=5x+y=5. С другой стороны, ввиду теоремы Пифагора, применённой к треугольникам ACA1ACA1 и ABA1ABA1 с общей высотой, 62−x2=AA21=42−y262−x2=AA12=42−y2. Следовательно, x2−y2=20x2−y2=20, то есть x−y=20/5=4x−y=20/5=4, откуда x=9/2x=9/2 и y=1/2y=1/2. Последнее означает, что K=A1K=A1, то есть треугольник ABKABK прямоугольный, и центр описанной около него окружности является серединой гипотенузы ABAB.Теперь опустим высоту BB1BB1, и тем же методом найдём CB1=15/4CB1=15/4, B1A=9/4B1A=9/4. Из этого следует, что MB1=15/4−27/8=3/8MB1=15/4−27/8=3/8, что составляет 1/101/10 от CB1CB1. Точно так же, KBKB составляет 1/101/10 от CBCB. Из этого можно сделать вывод, что прямые KMKM и BB1BB1 параллельны, а потому треугольник AKMAKM также прямоугольный. И центр описанной около него окружности есть середина гипотенузы AKAK.Таким образом, dd есть длина средней линии треугольника ABKABK, откуда d=BK/2=1/4d=BK/2=1/4.
Пусть Петя задумал самое большое из данных натуральных чисел – 99 (нечетное). Как его определить, задав Пете не более 7 вопросов? 1) Является ли число четным? ответ: нет Осталось рассмотреть 50 нечетных чисел. 2) Получится ли остаток 1 при делении числа на 4? ответ: нет. Осталось рассмотреть 25 чисел при делении на 4 дающих остаток 3: 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, 35, 39, 43, 47, 51, 55, 59, 63, 67, 71, 75, 79, 83, 87, 91, 95, 99. 3) Получится ли остаток 3 при делении числа на 8? ответ: да. Следовательно, поиск ведем среди 13 чисел: 3, 11, 19, 27, 35, 43, 51, 59, 67, 75, 83, 91, 99. 4) Получится ли остаток 3 при делении на 16? ответ: да. Значит, искомое число находится среди 7 чисел: 3, 19, 35, 51, 67, 83, 99. 5) Получится ли остаток 3 при делении числа на 32? ответ: да. Остается 4 числа: 3, 35, 67, 99. 6) Получится ли остаток 3 при делении числа на 64? ответ: нет. Остается 2 числа: 35 и 99. 7) Является ли число 35 ответом? ответ: нет. В таком случае искомым является число 99. Аналогичные рассуждения будут и в случае других задуманных нечетных чисел, и в случае ответа «да» на первый вопрос, т. е. когда задумано какое-либо четное число.
решение на фотографии.