Question

Обчислити площу фігури обмеженої лініями y=x^2-6x y=0

Answer 1

-36

Пошаговое объяснение:

Спочатку знайдемо точки перетину цих ліній. Для цього обидва "ігреки" мають бути рівні (бо тоді вони перетинаються), тому

$x^2-6x=0$

І розв'язуємо рівняння

$x^2-6x=0$

$x(x-6)=0$

$x=0$ або $x-6=0$

                $\,\,\,\,x=6$

Отже, вони перетинаються при x=0 та x=6. Оскільки графік у=0 це просто пряма на абсцисі, то щоб знайти бажану площу ми просто інтегруємо функцію у=х^2-6х від 0 до 6

$\int\limits^6_0 {(x^2-6x) \,dx}$.

Щоб це зробити, знайдемо первісну від х^2-6х

$\int{(x^2-6x)\,dx}=\frac{1}{3}x^3-3x^2+C$

і підставимо х=6 і х=0

$\int\limits^6_0 {(x^2-6x) \,dx}=(\frac{1}{3}x^3-3x^2+C)|_0^6=$

$=(\frac{1}{3}*6^3-3*6^2+C)-(\frac{1}{3}*0^3-3*0^2+C)=\frac{1}{3}*6^3-3*6^2=$

$=\frac{1}{3}*216-3*36=72-108=-36$

Отже, площа шуканої фігури -36.