Question

Найдите область определения функции
1. y = log4 (9-x2)
2. y = log (x2-16)
3. y = log16 x

Answer 1

Старший Знаток

1) y=log_5(4-2x-x^2)+3

Область определения:

4 - 2x - x^2 > 0

x^2 + 2x - 4 < 0

x^2 + 2x + 1 - 5 < 0

(x+1)^2 - (√5)^2 < 0

(x+1-√5)(x+1+√5) < 0

x ∈ (-1-√5; -1+√5)

Локальные экстремумы будут в точках, в которых производная равна 0.

Производная

y'= \frac{-2-2x}{(4-2x-x^2)*ln(5)} = \frac{-2(x+1)}{(4-2x-x^2)*ln(5)} =0

x = -1 ∈ (-1-√5; -1+√5)

y(-1)=log_5(4-(-2)-(-1)^2)+3=log_5(4+2-1)+3=1+3=4

Знаменатель > 0, потому что скобка (4-2x-x^2) > 0, по области определения логарифма. Числитель -2(x+1)>0 при x<-1, значит, график возрастает, а при x>-1 график убывает. Значит, -1 точка максимума.

ответ: Наибольшее значение y(-1) = 4

2) y=log_3(x^2-6x+10)+2

Область определения:

x^2 - 6x + 10 > 0

x^2 - 6x + 9 + 1 > 0

(x - 3)^2 + 1 > 0

Сумма квадрата и положительного числа положительна при любом x.

x ∈(-oo; +oo)

Локальные экстремумы будут в точках, в которых производная равна 0.

y' = \frac{2x-6}{(x^2-6x+10)*ln(3)} = \frac{2(x-3)}{(x^2-6x+10)*ln(3)} =0

x = 3

y(3)=log_3(9-6*3+10)+2=log_3(9-18+10)+2=0+2=2

Здесь все наоборот. Знаменатель тоже >0. Числитель 2(x-3)<0 при x<3 (график убывает) и 2(x-3)>0 при x>3 (график возрастает).

Значит, 3 - точка минимума.

ответ: Наименьшее значение y(3) = 2

Пошаговое объяснение: