Question

Найдите критические точки функции:

а) f(x) = x3 + 6x2;

б) g(x) = 3x4 – 4x3 – 12x2 + 7.

Дана функция y = x3 + x2 – 5x – 3.

Найдите:

а) промежутки возрастания и убывания функции;

б) точки экстремума.

Составьте уравнение касательной к графику функции

y = 2x – x2, параллельной оси абсцисс.
Задания в работе выполнить подробно: с формулами; нумеруя шаги алгоритмов с матшекой)

Answer 1

Для начала найдем критические точки функций f(x) и g(x).

а) Для функции f(x) = x^3 + 6x^2, найдем производную функции.

f'(x) = 3x^2 + 12x

Чтобы найти критические точки, приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение:

3x^2 + 12x = 0

Вынесем общий множитель:

3x(x + 4) = 0

Получаем два значения x: x = 0 и x = -4. Это и будут критические точки функции f(x).

б) Для функции g(x) = 3x^4 – 4x^3 – 12x^2 + 7 найдем производную функции.

g'(x) = 12x^3 - 12x^2 - 24x

Приравниваем производную к нулю и решим полученное уравнение:

12x^3 - 12x^2 - 24x = 0

Вынесем общий множитель:

12x(x^2 - x - 2) = 0

Факторизуем квадратное уравнение:

12x(x - 2)(x + 1) = 0

Получаем три значения x: x = 0, x = 2 и x = -1. Это и будут критические точки функции g(x).

Теперь перейдем к заданию про функцию y = x^3 + x^2 – 5x – 3.

а) Чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции, найдем производную функции.

y' = 3x^2 + 2x - 5

Чтобы узнать, где функция возрастает и убывает, решим неравенство y' > 0.

3x^2 + 2x - 5 > 0

Факторизуем квадратное уравнение, чтобы найти корни:

(3x - 1)(x + 5) > 0

Решаем неравенство:

1) 3x - 1 > 0
3x > 1
x > 1/3

2) x + 5 > 0
x > -5

Функция возрастает при x > 1/3 и убывает при x < -5.

б) Чтобы найти точки экстремума, приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение.

3x^2 + 2x - 5 = 0

Применяем квадратное уравнение:

x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)

a = 3, b = 2, c = -5

x = (-2 ± √(2^2 - 4(3)(-5))) / (2(3))
x = (-2 ± √(4 + 60)) / 6
x = (-2 ± √64) / 6
x = (-2 ± 8) / 6

x1 = ( -2 + 8) / 6 = 1
x2 = (-2 - 8) / 6 = -5/3

Таким образом, точки экстремума функции y = x^3 + x^2 – 5x – 3 равны x = 1 и x = -5/3.

Чтобы составить уравнение касательной к графику функции y = 2x – x^2, параллельной оси абсцисс, нужно найти производную функции и подставить значение y = 0.

Выразим y = 0 в уравнении функции:

0 = 2x - x^2
x^2 = 2x
x^2 - 2x = 0

Факторизуем уравнение:

x(x - 2) = 0

Получаем два значения x: x = 0 и x = 2. Это и будут точки, в которых прямая параллельна оси абсцисс.

Таким образом, уравнение касательной к графику функции y = 2x – x^2, параллельной оси абсцисс, имеет вид x = 0 и x = 2.