Центральный угол в развертке боковой поверхности конуса равен 120°. Высота конуса равна 4√2 см. Найдите площадь осевого сечения конуса. ( Sб.п.к. =(π l^2)/(360°) α, где α- градусная мера дуги боковой развертки конуса)
Привет, школьник! Давай разберемся вместе с этим вопросом.
Сначала давай определим, что такое центральный угол в развертке боковой поверхности конуса. Когда мы раскрываем боковую поверхность конуса и разворачиваем ее в плоскость, мы получаем фигуру, похожую на сектор круга. Центральный угол в этой развертке - это угол между линией, идущей от центра сектора, к концу дуги, и линией, идущей от центра сектора, к центру круга (в нашем случае, вершине конуса).
Мы знаем, что центральный угол в развертке боковой поверхности конуса равен 120°. Это значит, что угол между линиями, которые я только что описал, составляет 120°.
Теперь нам нужно найти площадь осевого сечения конуса. Для этого воспользуемся формулой, которую ты привел: Sб.п.к. =(π l^2)/(360°) α.
В этой формуле:
- Sб.п.к. обозначает площадь осевого сечения конуса,
- π обозначает число Пи, примерно равное 3.14,
- l обозначает длину окружности осевого сечения конуса,
- α обозначает градусную меру дуги боковой развертки конуса, то есть наш центральный угол.
У нас уже есть значение центрального угла (120°) и нам нужно найти длину окружности осевого сечения конуса (l). Давай найдем эту длину по шагам.
1. Найдем радиус осевого сечения. Для этого воспользуемся свойствами треугольника, образованного радиусом осевого сечения, полусуммой высоты конуса и длиной образующей конуса. Такой треугольник - это прямоугольный треугольник.
По теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. В нашем случае, катетами являются половина длины образующей (половина образующей равна высоте конуса,а полусумма высоты и длины образующей равна радиусу) и радиус осевого сечения, а гипотенузой - длина образующей. Таким образом, у нас есть уравнение: (0.5l)^2 + r^2 = l^2.
Выразим радиус:
0.5^2*l^2 + r^2 = l^2,
0.25l^2 + r^2 = l^2,
r^2 = l^2 - 0.25l^2,
r^2 = 0.75l^2,
r = √(0.75l^2),
r = √(3/4) * l.
2. Теперь нам нужно найти длину окружности осевого сечения (l). Мы знаем радиус (r), который получили в предыдущем шаге.
Длина окружности вычисляется по формуле: l = 2πr. Подставим значение радиуса: l = 2π * √(3/4) * l.
3. Наконец, мы можем подставить значение длины окружности (l) и градусную меру дуги (120°) в формулу для площади осевого сечения конуса: Sб.п.к. =(π l^2)/(360°) α.
Следовательно, Sб.п.к. =(π (2π * √(3/4) * l)^2)/(360°) * 120°.
Таким образом, получаем формулу для вычисления площади осевого сечения конуса:
Sб.п.к. =(π (2π * √(3/4) * l)^2)/(360°) * 120°.
Надеюсь, я смог объяснить этот вопрос наглядно и понятно для тебя. Если у тебя возникнут дополнительные вопросы, не стесняйся задавать их!
Сначала давай определим, что такое центральный угол в развертке боковой поверхности конуса. Когда мы раскрываем боковую поверхность конуса и разворачиваем ее в плоскость, мы получаем фигуру, похожую на сектор круга. Центральный угол в этой развертке - это угол между линией, идущей от центра сектора, к концу дуги, и линией, идущей от центра сектора, к центру круга (в нашем случае, вершине конуса).
Мы знаем, что центральный угол в развертке боковой поверхности конуса равен 120°. Это значит, что угол между линиями, которые я только что описал, составляет 120°.
Теперь нам нужно найти площадь осевого сечения конуса. Для этого воспользуемся формулой, которую ты привел: Sб.п.к. =(π l^2)/(360°) α.
В этой формуле:
- Sб.п.к. обозначает площадь осевого сечения конуса,
- π обозначает число Пи, примерно равное 3.14,
- l обозначает длину окружности осевого сечения конуса,
- α обозначает градусную меру дуги боковой развертки конуса, то есть наш центральный угол.
У нас уже есть значение центрального угла (120°) и нам нужно найти длину окружности осевого сечения конуса (l). Давай найдем эту длину по шагам.
1. Найдем радиус осевого сечения. Для этого воспользуемся свойствами треугольника, образованного радиусом осевого сечения, полусуммой высоты конуса и длиной образующей конуса. Такой треугольник - это прямоугольный треугольник.
По теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. В нашем случае, катетами являются половина длины образующей (половина образующей равна высоте конуса,а полусумма высоты и длины образующей равна радиусу) и радиус осевого сечения, а гипотенузой - длина образующей. Таким образом, у нас есть уравнение: (0.5l)^2 + r^2 = l^2.
Выразим радиус:
0.5^2*l^2 + r^2 = l^2,
0.25l^2 + r^2 = l^2,
r^2 = l^2 - 0.25l^2,
r^2 = 0.75l^2,
r = √(0.75l^2),
r = √(3/4) * l.
2. Теперь нам нужно найти длину окружности осевого сечения (l). Мы знаем радиус (r), который получили в предыдущем шаге.
Длина окружности вычисляется по формуле: l = 2πr. Подставим значение радиуса: l = 2π * √(3/4) * l.
3. Наконец, мы можем подставить значение длины окружности (l) и градусную меру дуги (120°) в формулу для площади осевого сечения конуса: Sб.п.к. =(π l^2)/(360°) α.
Следовательно, Sб.п.к. =(π (2π * √(3/4) * l)^2)/(360°) * 120°.
Таким образом, получаем формулу для вычисления площади осевого сечения конуса:
Sб.п.к. =(π (2π * √(3/4) * l)^2)/(360°) * 120°.
Надеюсь, я смог объяснить этот вопрос наглядно и понятно для тебя. Если у тебя возникнут дополнительные вопросы, не стесняйся задавать их!