Средневековая культура делится на несколько периодов:
V в. н.э. – конец VIII в. н.э. – период «варварства».
Конец VIII в. н.э. – первая половина IX в. н.э. – каролингское возрождение.
X – XII вв. – романский период.
XIII – XIV вв. – готический период.
В первый период шла утрата культурных ценностей, оскудение духовной и материальной жизни. Очагами культуры оставались монастыри.
Во второй период (в эпоху каролингского возрождения) появляется преклонение перед образованностью. Жители Европы начинают заново знакомиться с античной культурой. На европейские языки переводятся многие античные авторы, развивается ремесло, строятся города. Становится престижным быть образованным и культурно жить. После распада империи Каролингов закончилось и каролингское возрождение.
Для романского и готического периодов характерно развитие архитектуры. К концу готического периода получают большое распространение литература и народное творчество.
Для третьего, романского периода характерен романский стиль. Ведущая отрасль – архитектура, преимущественно церковная: храмы, монастыри; светская архитектура – замки. Эта архитектура была широко распространена в городах. Строили в основном монахи. Миряне приходят в строительство в конце XI в. Сооружения романского стиля массивные, с толстыми стенами, узкими окнами из плохо обработанного камня, грубые, приземленные, не уютные внутри. Для скульптуры характерна при к архитектуре. Живопись плоская, нет перспективы, нет глубины пространства. Преобладают фрески (монументальный вид живописи по сырой известковой штукатурке специальными водными красками). Распространен орнамент: сюжеты фантастичны и мрачны.
Для четвертого, готического периода характерно переплетение черт реализма с набожным умилением и религиозным экстазом. Значительно увеличивается число светских сооружений. Наряду с собором в городах строится великолепная ратуша, затем появляются большие здания купеческих гильдий и ремесленных цехов, каменные дворцы богатых горожан, многоэтажные каменные дома, замки, укрепления. Типичное здание церковной архитектуры – это городской собор. Нарядное здание с широкими стрельчатыми окнами, гармонично устремленное вверх. В готике много колонн и арок.
Главный жанр готической живописи – иконопись. Изобразительное искусство представлено росписями, мозаиками, миниатюрами, витражами. Живопись готики представлена также витражами в ущерб росписям, расширяется цветовая палитра, исчезает орнамент, появляются фигуры людей. Витражи украшают, поучают, освещают. Изобретена техника дублирования стекол, что обеспечивает тонкие нюансы цвета.
В готический период крупнейшее достижение искусства книжной миниатюры – эволюция к реализму. Иллюстрируют Библии, Евангелия, Псалтыри, Часословы, учебники, энциклопедии, светскую литературу, поэзию.
Развитие практической науки, алхимии; изобретены часы, производство бумаги, изобретены зеркало, очки.
С одной стороны, по формуле:
(cos x + i*sin x)^3 = cos 3x + i*sin 3x
С другой, если честно раскрыть скобки:
(cos x + i*sin x)^3 = cos^3 x + 3i * cos^2 x * sin x - 3 * cos x * sin^2 x - i * sin^3 x
Выражения в обеих строках равны <=> равны их вещественные и мнимые части:
cos 3x = cos^3 x - 3 * cos x * sin^2 x = cos^3 x - 3 * cos x * (1 - cos^2 x) = 4 * cos^3 x - 3 * cos x
sin 3x = 3 * cos^2 x * sin x - sin^3 x = 3 * (1 - sin^2 x) * sin x - sin^3 x = 3 * sin x - 4 * sin^3 x