Question

Доказать равенство этого множества:
1) логической проверкой обоих включений (метод подмножеств);
2) используя формулы алгебры множеств (то есть, упрощая заданные выражения).
А∩(А∩B)∪B⁻(не B)=А∪В⁻(не B)

Answer 1

Для доказательства равенства А∩(А∩В)∪B⁻=А∪В⁻ можем использовать два способа: метод подмножеств и формулы алгебры множеств.

Метод подмножеств:

Для того чтобы доказать, что два множества равны, нужно проверить два включения: сначала включение одного множества в другое, а затем включение другого множества в первое.

Пусть x - произвольный элемент множества А∩(А∩В)∪B⁻. Это значит, что x принадлежит либо А∩(А∩В), либо B⁻.

1) Докажем включение А∪В⁻ в А∩(А∩В)∪B⁻:
Пусть x принадлежит А∪В⁻. Это значит, что x принадлежит либо А, либо В⁻.

- Если x принадлежит А, то он принадлежит и А∩(А∩В), так как x принадлежит А и А∩В является подмножеством А.
- Если x принадлежит В⁻, то он принадлежит и B⁻.

Таким образом, для каждого x из А∪В⁻ мы можем сказать, что x принадлежит А∩(А∩В)∪B⁻, что доказывает включение А∪В⁻ в А∩(А∩В)∪B⁻.

2) Докажем включение А∩(А∩В)∪B⁻ в А∪В⁻:
Пусть x принадлежит А∩(А∩В)∪B⁻. Это значит, что x принадлежит либо А∩(А∩В), либо B⁻.

- Если x принадлежит А∩(А∩В), то он принадлежит и А, так как А∩(А∩В) является подмножеством А.
- Если x принадлежит B⁻, то он принадлежит и В⁻.

Таким образом, для каждого x из А∩(А∩В)∪B⁻ мы можем сказать, что x принадлежит А∪В⁻, что доказывает включение А∩(А∩В)∪B⁻ в А∪В⁻.

Таким образом, мы доказали, что каждое множество включено в другое, что означает равенство А∩(А∩В)∪B⁻=А∪В⁻.

Использование формул алгебры множеств:

Рассмотрим выражение А∩(А∩В)∪B⁻.
Первое, что мы можем сделать, это раскрыть скобки внутри операции пересечения:

А∩(А∩В) = (А∩А)∩В = А∩В.

Подставляем это обратно в исходное выражение:

А∩(А∩В)∪B⁻ = А∩В∪B⁻.

Затем, используем формулу разности множества B⁻:

А∩В∪B⁻ = (А∩В)∪(Универсальное множество \ B) = А∩В∪(Универсальное множество) \ B.

Теперь подставляем это обратно в исходное выражение:

А∩(А∩В)∪B⁻ = А∩В∪(Универсальное множество) \ B.

Так как любое множество объединено со своей разностью с универсальным множеством, мы можем записать:

А∩В∪(Универсальное множество) \ B = А∪В⁻.

Таким образом, мы использовали формулы алгебры множеств для преобразования выражения А∩(А∩В)∪B⁻ в А∪В⁻, что доказывает равенство.