Question

Найти общее решение дифференциального уравнения, с пояснениями, если не составит труда
Большое Найти общее решение дифференциального уравнения, с пояснениями, если не составит труда Большое

Answer 1

$y''' - 4y' = 24e^{2x} - 4\cos 2x + 8\sin 2x$ — неоднородное дифференциальное уравнение третьего порядка с постоянными коэффициентами

Принцип суперпозиции решений

Общее решение такого уравнения: $y = y^{*} + \widetilde{y}$, где $y^{*}$ — общее решение соответствующего однородного уравнения, $\widetilde{y}$ — частное решение неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.

$1) \ y^{*}: \ y''' - 4y' = 0$

Метод Эйлера: $y = e^{kx}; \ y' = ke^{kx}; \ y''' = k^{3}e^{kx}$

Характеристическое уравнение: $k^{3} - 4k = 0$

$k(k^{2}- 4) = 0$

$\left[\begin{array}{ccc}k_{1} = 0, \ \ \ \ \\k_{2,3} = \pm 2\\\end{array}\right$

Фундаментальная система решений:

$y_{1} = e^{0x} = 1; \ y_{2} = e^{-2x}; \ y_{3} = e^{2x}$

Общее решение: $y^{*} = C_{1}y_{1} + C_{2}y_{2} + C_{3}y_{3} = C_{1} + C_{2}e^{-2x} + C_{3}e^{2x}$

$2) \ \widetilde{y}: \ f(x) = 24e^{2x} - 4\cos 2x + 8\sin 2x$

Здесь  $f_{1}(x) = 24e^{2x}; \ f_{2}(x) = -4\cos 2x + 8\sin 2x$

Контрольные числа: $\alpha_{1} = 2 = k_{3}$ — является корнем характеристического уравнения; $\alpha_{2} = 0 \pm 2i \neq k_{1,2,3}$ — не является корнем характеристического уравнения;

Тогда $\widetilde{y}_{1} = Axe^{2x}$ и $\widetilde{y}_{2} = e^{0x}(B\cos 2x + C\sin 2x) = B\cos 2x + C\sin 2x$

$\widetilde{y} = \widetilde{y}_{1} + \widetilde{y}_{2} =Axe^{2x} + B\cos 2x + C\sin 2x$

$\widetilde{y}' = Ae^{2x} + 2Axe^{2x} -2B\sin 2x + 2C\cos 2x$

$\widetilde{y}'' = 4Ae^{2x} + 4Axe^{2x} - 4B\cos 2x - 4C\sin 2x$

$\widetilde{y}''' = 12Ae^{2x} + 8Axe^{2x} + 8B\sin 2x - 8C\cos 2x$

Находим неизвестные коэффициенты $A, \ B, \ C$ методом неопределенных коэффициентов:

$12Ae^{2x} + 8Axe^{2x} + 8B\sin 2x - 8C\cos 2x - 4(Ae^{2x} + 2Axe^{2x} -2B\sin 2x + 2C\cos 2x) = 24e^{2x} - 4\cos 2x + 8\sin 2x$

$8Ae^{2x} + 16B\sin 2x - 16C\cos 2x = 24e^{2x} - 4\cos 2x + 8\sin 2x$

Коэффициенты около $e^{2x}:$

$8A = 24; \ A = 3$

Коэффициенты около $\sin 2x:$

$16B = 8; \ B = \dfrac{1}{2}$

Коэффициенты около $\cos 2x:$

$-16C = -4; \ C = \dfrac{1}{4}$

Таким образом, $\widetilde{y} =3xe^{2x} + \dfrac{1}{2} \cos 2x + \dfrac{1}{4} \sin 2x$

Общее решение заданного уравнения:

$y = y^{*} + \widetilde{y} = C_{1} + C_{2}e^{-2x} + C_{3}e^{2x} + 3xe^{2x} + \dfrac{1}{2} \cos 2x + \dfrac{1}{4} \sin 2x$

ответ: $y = C_{1} + C_{2}e^{-2x} + C_{3}e^{2x} + 3xe^{2x} + \dfrac{1}{2} \cos 2x + \dfrac{1}{4} \sin 2x$