Для исследования функции Y = Xe^(-x^2/2) нам нужно выполнить несколько шагов.
1. Найдем область определения функции. Область определения - это множество значений переменной X, для которых функция определена. В данном случае функция определена для всех действительных чисел, так как в выражении нет никаких ограничений на значение X.
2. Найдем точки пересечения с осями координат. Чтобы найти точки пересечения с осью X, мы должны приравнять функцию к нулю и решить уравнение Xe^(-x^2/2) = 0. Поделим обе части уравнения на X и получим e^(-x^2/2) = 0. Однако, экспонента никогда не равна нулю для любого значения аргумента, поэтому у этой функции нет точек пересечения с осью X. Чтобы найти точки пересечения с осью Y, мы должны подставить X = 0 в исходное уравнение Y = Xe^(-x^2/2). Получаем Y = 0.
3. Найдем асимптоты функции. Асимптоты - это линии, к которым функция стремится при стремлении переменной X к бесконечности или минус бесконечности. Для нашей функции асимптот нет, так как она не подчиняется такому правилу.
4. Найдем экстремумы функции. Чтобы найти экстремумы, мы должны найти производную функции и приравнять ее к нулю: Y' = (1 - x^2)e^(-x^2/2). Приравниваем Y' к нулю: (1 - x^2)e^(-x^2/2) = 0. Обратим внимание, что экспонента никогда не равна нулю, поэтому мы должны найти значения X, при которых (1 - x^2) = 0. Отсюда найдем два значения X: x = 1 и x = -1. Чтобы определить, является ли это максимумом или минимумом, мы должны проанализировать знак производной в окрестности найденных значений. Для этого возьмем произвольную точку справа от X = 1, например, X = 2. Подставим ее в производную: Y'(2) = (1 - 2^2)e^(-2^2/2) = -3e^(-2). Учитывая, что e^(-2) является положительным числом, получим Y'(2) < 0. То есть, производная отрицательная справа от X = 1. Аналогично, если мы возьмем X = -2, получим Y'(-2) > 0. Таким образом, экстремум в точке X = 1 является локальным максимумом, а экстремум в точке X = -1 является локальным минимумом.
5. Построим график функции Y = Xe^(-x^2/2). Для этого можно построить таблицу значений функции для нескольких точек X, а затем нарисовать точки на графике и соединить их гладкой кривой. Например, выберем несколько значений X: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3. Подставим каждое из них в исходное уравнение и посчитаем соответствующие значения Y. Затем нарисуем точки (-3, Y1), (-2, Y2), (-1, Y3), (0, Y4), (1, Y5), (2, Y6), (3, Y7) на графике и соединим их гладкой кривой.
Вот так мы исследовали функцию Y = Xe^(-x^2/2) и построили ее график.
1. Найдем область определения функции. Область определения - это множество значений переменной X, для которых функция определена. В данном случае функция определена для всех действительных чисел, так как в выражении нет никаких ограничений на значение X.
2. Найдем точки пересечения с осями координат. Чтобы найти точки пересечения с осью X, мы должны приравнять функцию к нулю и решить уравнение Xe^(-x^2/2) = 0. Поделим обе части уравнения на X и получим e^(-x^2/2) = 0. Однако, экспонента никогда не равна нулю для любого значения аргумента, поэтому у этой функции нет точек пересечения с осью X. Чтобы найти точки пересечения с осью Y, мы должны подставить X = 0 в исходное уравнение Y = Xe^(-x^2/2). Получаем Y = 0.
3. Найдем асимптоты функции. Асимптоты - это линии, к которым функция стремится при стремлении переменной X к бесконечности или минус бесконечности. Для нашей функции асимптот нет, так как она не подчиняется такому правилу.
4. Найдем экстремумы функции. Чтобы найти экстремумы, мы должны найти производную функции и приравнять ее к нулю: Y' = (1 - x^2)e^(-x^2/2). Приравниваем Y' к нулю: (1 - x^2)e^(-x^2/2) = 0. Обратим внимание, что экспонента никогда не равна нулю, поэтому мы должны найти значения X, при которых (1 - x^2) = 0. Отсюда найдем два значения X: x = 1 и x = -1. Чтобы определить, является ли это максимумом или минимумом, мы должны проанализировать знак производной в окрестности найденных значений. Для этого возьмем произвольную точку справа от X = 1, например, X = 2. Подставим ее в производную: Y'(2) = (1 - 2^2)e^(-2^2/2) = -3e^(-2). Учитывая, что e^(-2) является положительным числом, получим Y'(2) < 0. То есть, производная отрицательная справа от X = 1. Аналогично, если мы возьмем X = -2, получим Y'(-2) > 0. Таким образом, экстремум в точке X = 1 является локальным максимумом, а экстремум в точке X = -1 является локальным минимумом.
5. Построим график функции Y = Xe^(-x^2/2). Для этого можно построить таблицу значений функции для нескольких точек X, а затем нарисовать точки на графике и соединить их гладкой кривой. Например, выберем несколько значений X: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3. Подставим каждое из них в исходное уравнение и посчитаем соответствующие значения Y. Затем нарисуем точки (-3, Y1), (-2, Y2), (-1, Y3), (0, Y4), (1, Y5), (2, Y6), (3, Y7) на графике и соединим их гладкой кривой.
Вот так мы исследовали функцию Y = Xe^(-x^2/2) и построили ее график.