Question

Найти неопределённые интегралы ​

Answer 1

Пошаговое объяснение:

а) $f(x) = e^{cos2x} * sin(2x)$

$\int\limits{f(x)} \, dx =\left[\begin{array}{ccc}u=2x\\du = 2dx\end{array}\right] = \frac{1}{2}\int\limits sinu *e^{cosu} \, du } =\left[\begin{array}{ccc}s=cosu\\ds = -sinu du\end{array}\right] =$

$= -\frac{1}{2} \int\limits{e^{s} } \, ds = - \frac{e^{s} }{2} + C = -\frac{1}{2} e^{cosu} + C = -\frac{1}{2}e^{cos2x} + C$

б) $f(x) = x^{3} * lnx$

$\int\limits {f(x)} \, dx = \left[\begin{array}{ccc}\int\limits{f } \, dg = f*g -\int\limits {g} \, df \\f = lnx ; df = \frac{1}{x} dx\\g = \frac{x^{4} x}{4 } ; dg = x^{3} dx \end{array}\right] = \frac{4}{4}x^{4} lnx - \frac{1}{4} \int\limits x^{3} \, dx = \frac{x^{4} }{4} lnx - \frac{x^{4}}{16} + C$

в) $f(x) = \frac{1}{x^{2}-4x+3}$

$\int\limits{f(x)} \, dx = \int\limits {\frac{1}{x^{2-4x+3} } } \, dx$

дробь разложим на множители и возьмем интеграл суммы

$\int\limits\frac{1}{(x-3)(x-1)} {} \, dx = \frac{1}{2} \int\limits\frac{1}{x-3} {} \, dx - \frac{1}{2} \int\limits {\frac{1}{x-1} } \, dx$

теперь по отдельности посчитаем 1ый и 2ой интегралы (это чтобы не путаться в длинных записях)

$\int\limits {\frac{1}{x-3}} \, dx = \left[\begin{array}{ccc}u=x-3\\du=dx\\\end{array}\right] = \int\limits {\frac{1}{u} } \, du = lnu +C = ln(x-3) + C$

$\int\limits {\frac{1}{x-1}} \, dx = \left[\begin{array}{ccc}u=x-1\\du=dx\\\end{array}\right] = \int\limits {\frac{1}{u} } \, du = lnu +C = ln(x-1) + C$

в результате получим ответ

$\frac{1}{2} (ln(x-3) - ln(x-1) ) + C$

Здесь еще можно применить модуль к аргументу логарифма, чтобы расширить его диапазон его диапазон (ну, это уже как кому нравится)