Question

Даны 12 различных двузначных чисел. Докажите, что из них можно выбрать два числа, разность которых двузначное число, записываемое двумя одинаковыми цифрами

Answer 1

Давай рассмотрим данную задачу.
У нас есть 12 различных двузначных чисел, то есть числа от 10 до 99.
Чтобы доказать, что из этих чисел можно выбрать два числа, разность которых двузначное число, записываемое двумя одинаковыми цифрами, нам нужно анализировать возможные варианты.

1. Предположим, что все разности двузначные числа, то есть имеют две различные цифры.
Мы можем составить список всех таких разностей:
10 - 90 = -80
10 - 89 = -79
...
11 - 90 = -79
...
88 - 99 = -11
Как видно, у нас всего 90 разностей, но у нас 12 чисел. Так как 90 < 12, мы не можем выбрать два числа из списка, где разность имеет две различные цифры.

2. Значит, противоположное предположение верно, и среди этих чисел есть два числа с одинаковыми цифрами в разности. Проверим это.

2.1 Предположим, что разность имеет одинаковые цифры на первом и втором месте десятков.
То есть у нас может быть разность вида XX - YY = ZZ, где X, Y, Z - разные цифры.
Заменим цифры на основные числа, чтобы облегчить анализ:
X = 1
Y = 2
Z = 3
Тогда имеем: 12 - 21 = 9
В данном случае разность не имеет двух одинаковых цифр, значит, это не подходящий вариант.

2.2 Предположим, что разность имеет одинаковые цифры на первом и третьем месте десятков.
То есть у нас может быть разность вида XY - YZ = ZZ, где X, Y, Z - разные цифры.
Заменим цифры на основные числа:
X = 1
Y = 2
Z = 3
Тогда имеем: 12 - 23 = -11
В данном случае разность имеет две одинаковые цифры, а именно "-11".

Таким образом, мы доказали, что из 12 различных двузначных чисел всегда найдутся два числа, разность которых будет двузначным числом, записываемым двумя одинаковыми цифрами. В нашем случае это числа 12 и 23, так как их разность равна -11.