Question

Найдите все тройки чисел (x1, x2, x3) таких, что их сумма равна 2020, сумма их квадратов равна 2020^2, а сумма их кубов равна 2020^3. Порядок чисел в тройке важен.

Answer 1

$x+y+z=2020,x^2+y^2+z^2=2020^2,x^3+y^3=z^3=2020^3\\ 2020^2=(x+y+z)^2=2020^2=(x^2+y^2+z^2)+2xy+2xz+2yz=2xy+2xz+2yz=2020^2-2020^2=xy+xz+yz=0\\ 2020^3=(x+y+z)^3=2020^3=(x^3+y^3+z^3)+3x^2y+3xy^2+3x^2z+3xz^2+3y^2z+3yz^2+6xyz=[0=3(xy+xz+yz)(x+y+z)=3x^2y+3xy^2+3x^2z+3xz^2+3y^2z+3yz^2+9xyz]=2020^3-2020^3=0-3xyz=xyz=0$

$xy+xz+yz=0=x^2y+x^2z+xyz=0=x^2(y+z)=0\\ x=0:y+z=2020,yz=0=y=0,z=2020\;\;\; OR\;\;\;\; y=2020,z=0\\ y+z=0:yz=0, x=2020=y=z=0$

ответ: $(0,0,2020),(0,2020,0),(2020,0,0)$