Question

Найти наименьшее значение функции f(x)=(x+3)×e^5+x на отрезке [-5;3]

Answer 1

Добрый день! Рассмотрим функцию f(x) = (x+3)e^5 + x на отрезке [-5; 3]. Прежде чем начать, давайте разберемся, как понять, что значит "наименьшее значение функции".

Наименьшее значение функции f(x) на заданном отрезке будет являться точкой, в которой функция достигает наименьшего значения в своей области определения.

Теперь давайте найдем производную функции f(x), чтобы определить наименьшее значение.

Производная функции f(x) будет равна производной каждого слагаемого по отдельности. Для удобства и обеспечения понимания процесса мы разобьем функцию f(x) на два слагаемых: g(x) = (x+3)e^5 и h(x) = x.

Начнем с функции g(x).

1) Найдем производную g'(x):
g'(x) = (e^5)(x+3)' + (x+3)(e^5)'
= (e^5) + (x+3)(0)
= e^5.

2) Теперь найдем производную h'(x):
h'(x) = 1.

3) Теперь найдем производную f'(x), складывая производные g'(x) и h'(x):
f'(x) = g'(x) + h'(x)
= e^5 + 1.

Теперь найдем критические точки, то есть значения x, при которых производная функции равна нулю или не существует.

4) Решим уравнение f'(x) = 0:
e^5 + 1 = 0.

Уравнение не имеет решений, так как экспоненциальная функция не обращается в ноль.

5) Теперь проверим значения функции на краях заданного отрезка [-5; 3]. Найдем f(-5) и f(3):

Для x = -5:
f(-5) = (-5+3)e^5 + (-5)
= -2e^5 - 5.

Для x = 3:
f(3) = (3+3)e^5 + 3
= 6e^5 + 3.

Теперь сравним значения, чтобы определить наименьшее.

-2e^5 - 5 ≈ -242.53082.
6e^5 + 3 ≈ 728.59246.

6) Итак, наименьшее значение функции f(x) на отрезке [-5; 3] равно -2e^5 - 5, около -242.53082.

Вот, теперь мы нашли наименьшее значение функции f(x) на заданном отрезке с помощью производной и сравнения значений на краях.