Question

А) Найти y'''(pi/2), если y=x*sin(x). б) Укажите чему равен дифференциал dy. Заранее

Answer 1

А) Чтобы найти третью производную функции y(x) = x*sin(x), нам понадобится использовать правила дифференцирования.

Шаг 1: Найдем первую производную функции y(x):
dy/dx = d/dx (x*sin(x))

Для этого нужно применить правило производной произведения функций, которое гласит: (u*v)' = u'*v + u*v'.

У нас есть две функции: u = x и v = sin(x).

Производная первой функции: u' = 1 (так как производная переменной по самой себе равна 1).
Производная второй функции: v' = cos(x) (производная синуса равна косинусу).

Применяем правило: dy/dx = u'*v + u*v' = 1*sin(x) + x*cos(x).
Упрощаем выражение: dy/dx = sin(x) + x*cos(x).

Шаг 2: Теперь найдем вторую производную функции y(x):
d^2y/dx^2 = d/dx (dy/dx).

Для этого снова применяем правило производной произведения функций.

Производная первой функции (уже найдено): u' = 1.
Производная второй функции (уже найдено): v' = cos(x).

Применяем правило: d^2y/dx^2 = u'*v + u*v' = 1*cos(x) + sin(x) - x*sin(x).
Упрощаем выражение: d^2y/dx^2 = cos(x) + sin(x) - x*sin(x).

Шаг 3: Наконец, найдем третью производную функции y(x):
y'''(x) = d/dx (d^2y/dx^2).

Производная первой функции (уже найдено): u' = 1.
Производная второй функции (уже найдено): v' = cos(x).

Применяем правило: y'''(x) = u'*v + u*v' = 1*(-sin(x)) + cos(x) - sin(x) - x*cos(x).
Упрощаем выражение: y'''(x) = -sin(x) + cos(x) - sin(x) - x*cos(x).

Шаг 4: Нам нужно найти значение y'''(pi/2). Для этого подставим x = pi/2 в полученное выражение:

y'''(pi/2) = -sin(pi/2) + cos(pi/2) - sin(pi/2) - (pi/2)*cos(pi/2).
Упрощаем выражение: y'''(pi/2) = -1 + 0 - 1 - (pi/2)*0.
Упрощаем дальше: y'''(pi/2) = -2.

Таким образом, третья производная функции y(x) = x*sin(x) в точке x = pi/2 равна -2.

б) Дифференциал dy - это изменение функции y(x) при бесконечно малом изменении значения x.
Математически записывается это как dy = dy/dx*dx.

В нашем случае, мы уже нашли dy/dx, равное sin(x) + x*cos(x).
Теперь нужно умножить dy/dx на бесконечно малое dx.

Таким образом, dy = (sin(x) + x*cos(x)) * dx.

Важно отметить, что дифференциал dy зависит от значения dx и может изменяться в зависимости от его величины.