Question

Даны координаты вершин треугольника A(5;-5;-1), B(5;-3;-1), C(4;-3;0). Найти периметр этого треугольника и косинусы его углов.

Answer 1

Для начала нам необходимо вычислить длины сторон треугольника, чтобы найти его периметр.

Длина стороны AB можно найти по формуле расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве:

AB = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)² + (z2 - z1)²)

где (x1, y1, z1) и (x2, y2, z2) - координаты вершин A и B соответственно.

Подставим координаты точек A и B:

AB = √((5 - 5)² + (-3 - -5)² + (-1 - -1)²)
= √(0 + 4 + 0)
= √4
= 2

Аналогично, можем найти длины сторон BC и CA:

BC = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)² + (z2 - z1)²)

Подставляем координаты точек B и C:

BC = √((4 - 5)² + (-3 - -3)² + (0 - -1)²)
= √((-1)² + 0² + 1²)
= √2

CA = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)² + (z2 - z1)²)

Подставляем координаты точек C и A:

CA = √((5 - 4)² + (-5 - -3)² + (-1 - 0)²)
= √(1² + (-2)² + (-1)²)
= √6

Теперь, чтобы найти периметр треугольника, нужно сложить длины всех его сторон:

Периметр треугольника ABC = AB + BC + CA
= 2 + √2 + √6

Выберем две стороны треугольника, например AB и BC, и найдем косинус угла между ними с помощью формулы:

cos(θ) = (AB² + BC² - CA²) / (2 * AB * BC)

Подставим значения:

cos(θ) = (2² + (√2)² - (√6)²) / (2 * 2 * √2)
= (4 + 2 - 6) / (4 * √2)
= 0 / (4 * √2)
= 0

Таким образом, косинус угла между сторонами AB и BC равен 0.

Аналогично, мы можем найти косинусы углов между другими сторонами треугольника.

Найдем косинус угла между сторонами BC и CA:

cos(θ) = (BC² + CA² - AB²) / (2 * BC * CA)

Подставим значения:

cos(θ) = ((√2)² + (√6)² - 2²) / (2 * √2 * √6)
= (2 + 6 - 4) / (2 * √12)
= 4 / (2 * √12)
= 4 / (2 * √(2 * 6))
= 4 / (2 * √(2 * 2 * 3))
= 4 / (2 * 2 * √3)
= 4 / (4 * √3)
= 1 / √3
= √3 / 3

Косинус угла между сторонами BC и CA равен √3 / 3.

И, наконец, найдем косинус угла между сторонами CA и AB:

cos(θ) = (CA² + AB² - BC²) / (2 * CA * AB)

Подставим значения:

cos(θ) = ((√6)² + 2² - (√2)²) / (2 * √6 * 2)
= (6 + 4 - 2) / (2 * √6)
= 8 / (2 * √6)
= 8 / (2 * √(2 * 3))
= 8 / (2 * √(2 * 2 * 3))
= 8 / (2 * 2 * √3)
= 8 / (4 * √3)
= 2 / √3
= (2 * √3) / 3

Косинус угла между сторонами CA и AB равен (2 * √3) / 3.

Таким образом, мы нашли периметр треугольника (2 + √2 + √6) и косинусы его углов (0, √3 / 3, (2 * √3) / 3).