Question

скорость точки движущейся прямолинейно задана уравнением v=t^2-4t+3. Вычислите ее путь за 4-ую секунду

Answer 1

$v=t^2-4t+3$

Скорость тела есть первая производная от пути. Значит, чтобы найти путь по известной зависимости скорости, нужно вычислить интеграл от скорости.

Так как нам нужен путь за четвертую секунду, то пределами интегрирования будут значения $t_1=3$ и $t_2=4$.

$\int\limits^4_3 {(t^2-4t+3)} \, dt=\left\left(\dfrac{t^3}{3} -4\cdot\dfrac{t^2}{2} +3t\right)\right|^4_3=\left\left(\dfrac{t^3}{3} -2t^2+3t\right)\right|^4_3=$

$=\left(\dfrac{4^3}{3} -2\cdot4^2+3\cdot4\right)-\left(\dfrac{3^3}{3} -2\cdot3^2+3\cdot3\right)=$

$=\left(\dfrac{64}{3} -32+12\right)-\left(9-18+9\right)=\dfrac{64}{3} -20=\dfrac{4}{3}$

ответ: 4/3