Question

Вероятность получения удачного результата при производстве сложного химического опыта равна 2/3. Найти вероятность того, что пять опытов пройдут удачно, если общее их количество равно а) шесть, б) 120.

Answer 1

a) 64/243

б) 1,28*10⁻⁴⁷

Пошаговое объяснение:

а) Воспользуемся формулой Бернулли:

$P_n(k)=C^k_n*p^k*q^{n-k} \\ \\ n=6;\ k=5; \ p=\frac{2}{3} ; \ q=1-p=\frac{1}{3}. \\ \\ P_6(5)=C^5_6*p^5*q=6*\left(\frac{2}{3}\right)^5*\frac{1}{3}=\frac{64}{243}$

б) Так как n велико, а p не стремится к нулю и единице, воспользуемся локальной теоремой Муавра-Лапласа

$P_n(k)\approx\frac{\varphi(x)}{\sqrt{npq}} \\ \\ \sqrt{npq}=\sqrt{120*\frac{2}{3}*\frac{1}{3}}=\sqrt{\frac{80}{3} }\\ \\ x=\frac{k-np}{\sqrt{npq}} =\frac{5-120*\frac{2}{3}}{\sqrt{80/3}} =\frac{-75}{\sqrt{80/3}}\approx -14.52 \\ \\ \varphi(-14.52)=\varphi(14.52)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi} } *e^{-\frac{14.52^2}{2}}\approx 6.6*10^{-47} \\ \\ P_{120}(5)\approx\frac{6.6*10^{-47}}{\sqrt{80/3}} \approx 1.28*10^{-47}$