Question

Найдите наибольший отрицательный корень уравнения sin^x+3=7sinxcosx Нужно решение,если что ^-это квадрат

Answer 1

$-\frac{3\pi}{4}$

Пошаговое объяснение:

$\sin^2{x}+3=7\sin{x}\cos{x} \\\\\sin^2{x}+3\cdot{1}-7\sin{x}\cos{x}=0\\ \\\sin^2{x}+3\cdot(\sin^2{x}+\cos^2{x})-7\sin{x}\cos{x}=0\\ \\\sin^2{x}+3\sin^2{x}+3\cos^2{x}-7\sin{x}\cos{x}=0\\ \\ 4\sin^2{x}-7\sin{x}\cos{x}+3\cos^2{x}=0$

Разделим обе части уравнения на $\cos^2{x} \neq 0$:

$4\cdot\frac{ \sin^2{x}}{\cos^2{x}} -7\cdot \frac{\sin{x}\cos{x}}{\cos^2{x}} +3\cdot \frac{\cos^2{x}}{\cos^2{x}} =\frac{0}{\cos^2{x}} \\\\4tg^2{x}-7tg{x}+3=0 \\\\tg{x}=t,~t \in R \\\\4t^2-7t+3=0\\ \\D=(-7)^2-4\cdot 4\cdot 3=49-48=10\\\\t_{1,2}=\frac{-(-7)\pm \sqrt{1}}{2\cdot 4} =\frac{7\pm 1}{8} \\\\t_{1}=\frac{3}{4},~~~t_{2}=1$

$tg{x}=\frac{3}{4}$  или  $tg{x}=1$

$x=arctg \frac{3}{4}+\pi n, ~n \in Z$  или  $x=arctg{1}+\pi k, ~k \in Z$

$x=arctg \frac{3}{4}+\pi n, ~n \in Z$  или  $x=\frac{\pi}{4}+\pi k, ~k \in Z$

корни серии решений $x=arctg \frac{3}{4}+\pi n, ~n \in Z$: $...,~arctg \frac{3}{4}-2\pi, ~arctg \frac{3}{4}-\pi, ~arctg \frac{3}{4}, ~arctg \frac{3}{4}+\pi, ~arctg \frac{3}{4}+2\pi, ~...$

корни серии решений $x=\frac{\pi}{4}+\pi n, ~n \in Z$: $...,~-\frac{7\pi}{4}, ~-\frac{3\pi}{4}, ~\frac{\pi}{4}, ~\frac{5\pi}{4}, ~\frac{9\pi}{4}, ~...$

Необходимо выбрать, что больше: $-\frac{3\pi}{4}$ или $arctg \frac{3}{4}-\pi$

Функция $y=arctg{x}$ возрастающая, поэтому , так $1\frac{3}{4}$, то $arctg1arctg \frac{3}{4}$, значит, $-\frac{3\pi}{4}=arctg1-\pi arctg\frac{3}{4} -\pi$

значит, $-\frac{3\pi}{4}$-наибольший отрицательный корень уравнения