Question

Сумма десятичных логаритмов девяти последовательно членов геометрической прогрессии составляет 8. Чему равно произведение крайних из рассматриваемых членов?

Answer 1

Пусть первый член равен $A$, тогда второй $Aq$ и так далее до 9-го, который равен $Aq^8$

Известно что

$\log A+\log Aq + ... +\log Aq^8 = 8\\9\log A + (1+2+3+...+8)\log q = 8\\9\log A + 36\log q = 8\\\\\log A + 4\log q = 8/9$

Произведение крайних членов

$P = A^2q^8\\\log P = 2\log A + 8\log q = 2(\log A+ 4\log q) = 16/9\\P = 10^{16/9}$

Answer 2

$b_n$ - n-ый член прогрессии. Тогда:

$\sum\limits^8_{j=0} lg(b_j) = lg(\Pi \limits^8_{j=0} b_j) = lg(b_0^9*q^{\sum\limits^8_{j=1}j}) = lg(b_0^9*q^{36}) = 9lg(b_0*q^4) = 8 = lg(b_5) = \frac{8}{9} = lg(b_5^2) = \frac{16}{9} = b_5^2 = 10^{\frac{16}{9}} = b_0^2 * q^{8} = b_0 * b_0*q^{8} = b_0 * b_8$

ответ: $10^{\frac{16}{9} }$