Question

Скорость охлаждения тела пропорционально его температуре.В данный момент времени температура окружающей среды - 20 градусов. dT/dt = kT - 20 - Это формула,по которой нужно решить. Тело было нагрето до 100 градусов,через 20 минут оно остыло до 80 градусов.Определить через ,какое время оно остыло до 20 градусов. Задача связана с дифференциалами написать решение по пунктам

Answer 1

Решим этот дифур, ничего сложного

$\displaystyle\\\frac{\textrm{d}T}{\textrm{d}t} = -(kT - 20)\\\frac{k\textrm{d}T}{kT-20} = -k\textrm{d}t\\\\\ln(kT - 20) = kt + C\\T = 20 + C_1\exp(-kt)$

При t=0 температура равна 100, то есть 20+С_1 = 100 и С_1=80, отсюда

$T(t) = 20 + 80\exp(-kt)$

Как мы видим, до двадцати градусов в данной модели оно остынет за бесконечное время