Question

второй раз публикую вопрос, хотя бы посоветуйте что делать? Очень нужно составить формулу. P1 = изначальная сумма инвестирования = 100р.;
P2 = сумма довложений за каждый период = 5р;
i = процент доходности за период = 20%;
n = кол-во периодов = 3

Задача: Мы инвестировали 100р. под 20% и в конце каждого периода добавляем 5р. Периодов всего 3.

Пример расчета:
P1*(1+20/100)+P2=S1

1) 100*(1+20/100)+5=125
2) 125*(1+20/100)+5=155
3) 155*(1+20/100)+5=191

ВОПРОС: есть ли формула для такого расчета исходя из количества периодов? Чтобы не считать за каждый отдельно, например периодов может быть не 3, а 10 и т.д.

* В файле прикрепил пример такого расчета на калькуляторе.

Answer 1

проверяй:)

$S=P_1k^n+P_2*\frac{k^n-1}{k-1}, \ k=1+\frac{i}{100}$

Пошаговое объяснение:

для упрощения обозначим коэффициент 1+(i/100)=k

исходя из примера расчета, можно объединить в один пример за период 3:

то есть,

((100*1.2+5)*1.2+5)*1.2+5=191

Тогда в общем виде будет:

((P₁k+P₂)k+P₂)k+P₂...=S

Раскрываем скобки

(P₁k² +P₂k+P₂)k+P₂...=S

P₁k³+P₂k²+P₂k+P₂...=S

Замечаем явную закономерность, тогда для периода n лучше записать так:

$S=P_1k^n+P_2k^{n-1}+P_2k^{n-2}+...+P_2k+P_2$

Вынесем P₂ за скобки

$S=P_1k^n+P_2(k^{n-1}+k^{n-2}+...+k+1)$

А теперь смотрим, что же у нас такое в скобках?

Если не очень понятно, можно записать справа налево:

1+k+k²+k³+...+kⁿ⁻²+kⁿ⁻¹ - это сумма геометрической прогрессии, у которой b₁=1; q=k; и содержит она как раз n слагаемых.

Для нее есть формула:

$S_n=b_1\frac{q^n-1}{q-1}$

Тогда в нашем случае:

$1+k+k^2+k^3+...+k^{n-1}=\frac{k^n-1}{k-1}$

Подставляем в исходную формулу:

$S=P_1k^n+P_2(k^{n-1}+k^{n-2}+...+k+1)=P_1k^n+P_2*\frac{k^n-1}{k-1}$

P.S.

Выражая другие значения можно получить следующие формулы:

$P_1=\frac{S}{k^n}- \frac{P_2}{k^n}*\frac{k^n-1}{k-1}$

$P_2=(S-P_1*k^n)*\frac{k-1}{k^n-1}$

$n=\log_k\left(\frac{S(k-1)+P_2}{P_1(k-1)+P_2} \right)$

Чтобы выразить i, надо сначала выразить k, что в явном виде невозможно. При определенных значениях остальных параметров, подставляем всё в уравнение

$P_1k^{n+1}+(P_2-P_1)k^n-Sk+S-P_2=0$

и находим k, а дальше:

$i=100(k-1)$