Question

Найти восемнадцатый член арифметической прогрессии, если первый и одиннадцатый ее члены - натуральные числа, а сумма первых четырнадцати членов равна 77.​

Answer 1

Распишем сумму четырнадцати членов:

$S_{14}=77$

$\dfrac{2a_1+13d}{2} \cdot 14=77$

Упростим соотношение:

$(2a_1+13d)\cdot 7=77$

$2a_1+13d=11$

Выразим разность:

$d=\dfrac{11-2a_1}{13}$

Запишем выражение для одиннадцатого член:

$a_{11}=a_1+10d$

Подставим выражение для d:

$a_{11}=a_1+10\cdot\dfrac{11-2a_1}{13}$

$a_{11}=\dfrac{13a_1+10(11-2a_1)}{13}$

$a_{11}=\dfrac{13a_1+110-20a_1}{13}$

$a_{11}=\dfrac{110-7a_1}{13}$

Проверим, при каких натуральных $a_1$ значение $a_{11}$ также будет натуральным.

Подставляя натуральные $a_1$ в выражение для числителя найдем те значения, при которых числитель кратен 13:

$a_1=1\Rightarrow 110-7a_1=103$

$a_1=2\Rightarrow 110-7a_1=96$

$a_1=3\Rightarrow 110-7a_1=89$

$a_1=4\Rightarrow 110-7a_1=82$

$a_1=5\Rightarrow 110-7a_1=75$

$a_1=6\Rightarrow 110-7a_1=68$

$a_1=7\Rightarrow 110-7a_1=61$

$a_1=8\Rightarrow 110-7a_1=54$

$a_1=9\Rightarrow 110-7a_1=47$

$a_1=10\Rightarrow 110-7a_1=40$

$a_1=11\Rightarrow 110-7a_1=33$

$a_1=12\Rightarrow 110-7a_1=26$ - 26 кратно 13

Можно было заметить, что $(110-7a_1)$ делится на 13 при $a_1=-1$, но так как $(-1)$ - не натуральное число, то искать необходимо было натуральное число, равное $(-1)$ по модулю 13. Наименьшее такое число $-1+13=12$.

Таким образом, $a_1=12$.

Проверим, что одиннадцатый член является натуральным числом:

$a_{11}=\dfrac{110-7\cdot12}{13}=2\in\mathbb{N}$

Найдем разность:

$d=\dfrac{11-2\cdot12}{13}=-1$

Найдем восемнадцатый член:

$a_{18}=a_1+17d$

$a_{18}=12+17\cdot(-1)=-5$

ответ: -5