Question

Касательная к параболе y=$x^{2} +mx+4$ проходит через начало координат. Найдите значение параметра m при котором абсцисса точки касания отрицательна, а ордината равна 2

Answer 1

Составим уравнение касательной к графику функции $y=x^2+mx+4$ в точке $x=x_0$.

Значение функции в точке касания:

$y(x_0)=x_0^2+mx_0+4$

Найдем производную:

$y'=2x+m$

Значение производной в точке касания:

$y'(x_0)=2x_0+m$

Уравнение касательной имеет вид:

$y_k=y(x_0)+y'(x_0)(x-x_0)$

Подставим найденные соотношения:

$y_k=x_0^2+mx_0+4+(2x_0+m)(x-x_0)$

$y_k=x_0^2+mx_0+4+2x_0x+mx-2x_0^2-mx_0$

$y_k=(2x_0+m)x+4-x_0^2$

Так как по условию касательная проходит через начало координат, то она является прямой пропорциональностью и свободный член $4-x_0^2$ равен нулю:

$4-x_0^2=0$

$x_0^2=4$

$x_0=\pm2$

Так как по условию абсцисса точки касания отрицательна, то остается вариант $x_0=-2$

Уравнение касательной принимает вид:

$y_k=(2\cdot(-2)+m)x$

$y_k=(m-4)x$

Зная, что касательная в точке касания имеет ординату 2, найдем значение m:

$2=(m-4)\cdot(-2)$

$m-4=-1$

$m=3$

ответ: 3

Answer 2

$y = x^{2} +mx+4$

$y' = 2x+m$

Касательная :

$y = f(a)+f'(a)(x-a)$

Начало координат : (0 ; 0)

$0 = f(a)+f'(a)(0-a)$

$0 = a^{2} +ma+4-a(2a+m)$

$0=a^{2} +ma+4-2a^{2} -ma$

$-a^{2} +4 = 0$

$a^{2} =4$

$[ a = 2$

$[a = -2$

Подставим значения для каждого а :

Для а  = 2 :

$y = 2^{2} +2m+4+(4+m)(x-2) = 4x+mx$

Для а = -2 :

$y = (-2)^{2} -2m+4+(-4+m)(x+2) = -4x+mx$

Составим две системы уравнений (найдем точки касания )  :

1.

{ ${ y = x^{2} +mx+4$

{ $y = 4x+mx$

$x^{2} +mx+4 = 4x+mx$

$x^{2} -4x+4 = 0$

$(x-2)^{2} =0$

$x = 2$

$y = 4*2+2m = 8+2m$

( 2 ; 8 + 2m)

Не подходит, так как x > 0, а по условию абсцисса отрицательная

2.

{ ${ y = x^{2} +mx+4$

{ $y = -4x+mx$

$x^{2} +mx+4 = -4x+mx$

$x^{2} +4x+4 = 0$

$(x+2)^{2} =0$

$x = -2$

$y = -4*(-2)-2m=8-2m$

( -2 ; 8 - 2m)

Нам нужно, чтобы ордината = 2, то есть y = 2 :

8 - 2m = 2

2m = 8 - 2

2m = 6

m = 3

ответ : при m = 3