Question

Сколько9-значных чисел, делящихся на2, можно составить путём перестановки цифр числа131152152?​

Answer 1

840

Пошаговое объяснение:

Если число делится на 2, то его последняя цифра четна. Среди цифр числа 131152152 из четных цифр присутствует лишь цифра 2. Она и будет стоять на последнем месте.

Осталось 8 мест и цифры: 1 - 4 штуки, 2 - 1 штука, 3 - 1 штука, 5 - 2 штуки.

А значит число искомых чисел равно числу упорядоченных разбиений множества из 8 мест на 4 множества мощности 4, 1, 1 и 2 (каждому множеству соответствует одна из цифр 1, 2, 3 или 5), т.е. числу перестановок с повторениями $P(4,1,1,2)=\dfrac{8!}{4!1!1!2!}=4*7*6*5=840$

____________________________________

Последняя формула может быть получена следующими рассуждениями:

сначала расставим 4 единицы на каких-то из свободных 8 мест. Сделать это можно $C_8^4=\dfrac{8!}{4!4!}$ Незанятыми остались 8-4=4 места. На этих 4 местах расставим 1 двойку. Сделать это можно $C_4^1=\dfrac{4!}{1!3!}$ И т.д.

По правилу произведения кол-во чисел равно $C_8^4C_4^1C_3^1C_2^2=\dfrac{8!}{4!4!}\dfrac{4!}{1!3!}\dfrac{3!}{1!2!}\dfrac{2!}{2!0!}=\dfrac{8!}{4!1!1!2!}=840$