Question

Решите уравнение: sinx + 2sin2x = 3 + sin3x

Answer 1

корней нет

Пошаговое объяснение:

$sinx-sin3x+2sin2x=3 \\ \\ 2sin\frac{x-3x}{2}cos\frac{x+3x}{2}+2sin2x=3 \\ \\ 2sin(-x)cos2x+2sin2x=3 \\ \\ -2sinx*cos2x +4sinx*cosx=3 \\ \\ sinx(-2cos2x+4cosx)=3$

Исследуем функцию: y=-2cos2x+4cosx

$y=-2(2cos^2x-1)+4cosx \\ y=-4cos^2x+4cosx+2$

Замена: cosx=t, t∈[-1;1]

y=-4t²+4t+2 - парабола, ветви направлены вниз, значит ее наибольшее значение в вершине:

$t_B=\frac{-b}{2a}=\frac{-4}{2*(-4)}=0.5 \in [-1;1] \ \Rightarrow \ cosx=0.5$

$y_B=-4*0.5^2+4*0.5+2=3$

Таким образом, наибольшее значение выражения -4cos²x+4cosx+2 ( или -2cos2x+4cosx) равно 3.

Нам нужно решить уравнение:

sinx(-2cos2x+4cosx)=3

Так как |sinx|≤1, а наибольшее значение -2cos2x+4cosx равно 3, то равенство выполнится только если sinx=1 и -2cos2x+4cosx=3

$\left\{\begin{matrix} sinx=1\\ -2cos2x+4cosx=3\end{matrix}\right. \ \Leftrightarrow \ \left\{\begin{matrix} sinx=1\\ cosx=0.5\end{matrix}\right. \ \Leftrightarrow \ \left\{\begin{matrix}x=\frac{\pi}{2}+2\pi n, \\ x=\pm \frac{\pi}{3}+ 2\pi n, \ n \in \mathbb{Z} \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \O$