Question

В копилке лежат 300 монет. Петя достаёт из копилки любое количество монет, а Вася выбирает, кто эти монеты заберёт. Так продолжается, пока кто-то не заберёт себе монеты 11 раз, тогда другой забирает себе всё, что осталось в копилке. Игра заканчивается, когда в копилке не осталось монет (это может произойти и до 11-го хода). Какое наибольшее число монет может гарантировать себе Петя вне зависимости от действий Васи?

Answer 1

Не могут.

Решение. Покажем, как играть Пете, чтобы он смог забрать со стола последнюю монету независимо от игры Васи и Толи. Пусть первым ходом Петя возьмет 4 монеты. Заметим, что Вася и Толя за свои ходы суммарно могут взять от 2 до 4 монет. Это значит, что после первого хода Толи на столе останется от 292 до 294 монет. После этого Пете нужно взять 2, 3 или 4 монеты так, чтобы на столе осталось 290 монет. А теперь, если Вася и Толя будут брать суммарно 2, 3 или 4 монеты, Пете нужно брать соответственно 3, 2 или 1 монету, чтобы после каждого его хода число монет, остающихся на столе, делилось на 5. Таким образом, он оставит 285, 280, . . . , 5 и, наконец, 0 монет, то есть заберет со стола последнюю монету.