Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями
1) y =2,y=3x-x^2
Ищем пределы интегрирования:
3x-x² = 2
х² -3х +2 = 0
х = 1 и 2 ( по т. Виета)
S =₁∫²(3x-x^2 -2) dx = (3x²/2 -x³/3 -2x)|₁² = 6 - 8/3 - 4 - 3/2 +1/3 +2 =
=2,5 -7/3 = 2,5 - 2 1/3 = 1/6
2)y=-x^2+6x, y=0
Ищем пределы интегрирования:
-х² +6х = 0
х =0 и х = 6
S = ₀∫⁶ (-x² + 6x)dx = (-x³/3 +3х²)|₀⁶ = 36
3)y=-2sin x, y=sin x, 0 ≤ х ≤ п/3
Ищем пределы интегрирования:
-2Sinx= Sinx
-3Sinx = 0
Sinx = 0
₀∫π/3 Sinxdx = -Cosx|₀π/3 = -Cosπ/3 + Сos0 = -1/2 + 1 = 1/2
Чтобы от периода дроби перейти в обыкновенную дробь, нужно в числитель поставить то число, которое (в периоде), а в знаменатель столько девяток, сколько цифр в периоде.
2 0,(3) · 0,(4) + 2 0,(4) · 0,(5) + 2 0,(5) · 0,(6) = 4 8/81
1) 2 0,(3) · 0,(4) = 2 1/3 · 4/9 = 7/3 · 4/9 = 28/27 = 1 1/27
2) 2 0,(4) · 0,(5) = 2 4/9 · 5/9 = 22/9 · 5/9 = 110/81 = 1 29/81
3) 2 5/9 · 6/9 = 23/9 · 6/9 = 138/81 = 1 57/81
4) 1 1/27 + 1 29/81 + 1 57/81 = 1 3/81 + 1 29/81 + 1 57/81 = 3 89/81 = 4 8/81
ответ: 4 целых 8/81.