Question

Найдите наибольшее и наименьшее значения заданной функции на заданном отрезке a)y=x^2-8x+19;[-1;5]
б)y=x^2+4x-3;[0;2]
в)y=2x^2-8x+6;[-1;4]
г)y=-3x^2+6x-10;[-2;9]

Answer 1

Пошаговое объяснение:

а) у= х²-8х+19, [-1;5]  

1. Найдём производную функции: у'= 2x-8 ;

2. Найдём критические точки: если y'=0, то 2х-8=0 ⇒ 2х=8 ⇒ х=4-критическая точка; х=4∈ [-1;5]   ;  

3. Найдём значения функции в критической точке и на концах указанного промежутка:

у(4)= 4²-8·4+19=16-32+19=3;  

у(-1)= (-1)²-8·(-1)+19=1+8+19=28;  

у(5)= 5²-8·5+19=25-40+19=4;  

Значит max y=y(-1)=28,   min y=y(4)=3.

б) у=х²+4х-3 на [0;2]

1. Найдём производную функции: у'= 2x+4 ;

2. Найдём критические точки: если y'=0, то 2х+4=0 ⇒ 2х=-4 ⇒ х=-2-критическая точка; х=-2∉ [0;2];  

3. Найдём значения функции  на концах указанного промежутка:

у(0)= 0²+4·0 -3= -3;  

у(2)= 2²+4·2 -3=4+8-3=9;  

Значит max y=y(2)=9,   min y=y(0)=-3.

в)у=2х²-8х+6 на [-1;4],  

1. Найдём производную функции: у'= 4x-8 ;

2. Найдём критические точки: если y'=0, то 4х-8=0 ⇒ 4х=8 ⇒ х=2-критическая точка; х=2∈ [-1;4]   ;  

3. Найдём значения функции в критической точке и на концах указанного промежутка:

у(2)= 2·2²-8·2+6=8-16+6= -2;  

у(-1)= 2·(-1)²-8·(-1)+6=2+8+6=16;  

у(4)=2· 4²-8·4+6=32-32+6=6;  

Значит max y=y(-1)=16;  min y=y(2)= -2.

г) у= -3·х²+6·х-10 на [-2;9]  

1. Найдём производную функции: у'= -6x+6 ;

2. Найдём критические точки: если y'=0, то -6х+6=0 ⇒ -6х=-6 ⇒ х=1-критическая точка; х=1∈ [-2;9]   ;  

3. Найдём значения функции в критической точке и на концах указанного промежутка:

у(1)= -3·1²+6·1- 10=-3+6-10=-7;  

у(-2)= -3·(-1)² + 6·(-1) -10 =-3-6 -10= -19;  

у(9)= -3·9² +6·9 - 10= -243 +54 - 10= -199;  

Значит max y=y(1)= -7,   min y=y(9)=-199.