Question

Розв'язати систему рівнянь (фото)
2. Решить систему уравнений (фото)

Answer 1

$x=4\\y=-16$

Пошаговое объяснение:

Т.к. функция косинус в левой части первого уравнения системы и квадратичная функция в правой части являются "функциями из разных разделов математики", то попытаемся оценить их:

Известно, что модуль косинуса не превосходит 1, а значит:

$-5 $ \leq $ 5\cdot cos\frac{\pi y}{2} $ \leq $ 5$

По виду квадратичной функции можно определить, что это парабола с ветвями вверх, а значит верхнего предела у нее нет.

Нижний предел равен значению функции в вершине параболы, который можно найти или взятием производной, или с готовой формулы. Для этого найдем абсциссу вершины параболы, а затем подставим найденное значение в функцию:

$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{-8}{2\cdot 1} = 4\\\\y_0=4^2-8\cdot 4 +21=16-32+21=5$

Это значит, что:

$x^2-8x+21\geq 5$

При сравнении полученных неравенств становится ясно, что эти функции равны только тогда, когда обе функции равны 5.

Решим отдельно тригонометрическое уравнение

$5\cdot cos\frac{\pi y}{2} =5;\\\\ cos\frac{\pi y}{2} =1\\\\\frac{\pi y}{2} =2\pi n, n \in Z\\\\y=4n,n \in Z$

ответ получился не единственный, поэтому воспользуемся вторым уравнением системы и подставим в него найденные значения для x и y:

$4n+5\cdot 4-4=0;\\4n=-16;\\n=-4$

Отсюда можем найти конкретное значение для y:

$y=4\cdot (-4)=-16$

Окончательный ответ:

$x=4\\y=-16$