Question

Дана функция z=arctg(xy^2), точка А (2;3) и вектор а=4i-3j. Найти gradz в точке А; производную в точке А по направлению вектора а

Answer 1

Для начала, вычислим градиент функции z=arctg(xy^2). Градиент функции - это вектор, состоящий из частных производных функции по каждой из переменных.

Для функции z=arctg(xy^2) имеем:

∂z/∂x = ∂(arctg(xy^2))/∂x
∂z/∂x = (∂(arctg(xy^2))/∂xy^2) * (∂xy^2/∂x)

Теперь найдем каждую из этих частных производных.

∂(arctg(xy^2))/∂xy^2:
Воспользуемся цепным правилом дифференцирования, обозначив u=xy^2.
∂(arctg(u))/∂u = 1/(1+u^2) (по правилу дифференцирования функции арктангенса)

∂xy^2/∂x = y^2 (по правилу дифференцирования произведения)

Теперь можем вычислить ∂z/∂x:
∂z/∂x = (∂(arctg(xy^2))/∂xy^2) * (∂xy^2/∂x)
∂z/∂x = (1/(1+(xy^2)^2)) * y^2

Аналогично, вычислим ∂z/∂y:

∂z/∂y = ∂(arctg(xy^2))/∂xy^2 * ∂xy^2/∂y

∂z/∂y = (1/(1+(xy^2)^2)) * 2xy

Теперь найдем значение градиента в точке А (2;3):

gradz = (∂z/∂x, ∂z/∂y)
gradz = ((1/(1+(2(3)^2)^2)) * (3^2), (1/(1+(2(3)^2)^2)) * (2(2)(3)))

gradz = ((1/(1+36)) * 9, (1/(1+36)) * 36)

gradz = (9/37, 36/37)

Теперь рассмотрим производную в точке А по направлению вектора а.

Для этого воспользуемся формулой производной вектор-функции по направлению:

D_аf(x_0, y_0) = (gradf(x_0, y_0))^T * а / ||а||

где (gradf(x_0, y_0)) - градиент функции в точке (x_0, y_0), а - вектор направления, ||а|| - длина вектора а.

Подставим значения:

D_аf(2, 3) = (gradz)^T * а / ||а||
D_аf(2, 3) = (9/37, 36/37)^T * (4, -3) / sqrt(4^2 + (-3)^2)
D_аf(2, 3) = (9/37)*(4) + (36/37)*(-3) / sqrt(25)
D_аf(2, 3) = (36/37 - 108/37) / 5
D_аf(2, 3) = -72/37 / 5
D_аf(2, 3) = -72/185

Итак, значение производной в точке А по направлению вектора а равно -72/185.