В королевстве Математика Жил король девятка и была у него дочь единица. И не было у неё друзей. Король приказал собрать все натуральные числа. В королевство приехали все натуральные числа и ноль. Натуральные числа смеялись над нулём. Но принцессе понравился ноль. Король разрешил нулю жить в замке. А ноль попросил короля чтоб все натуральные числа жили вместе. И пошли натуральные числа и ноль в крестовый поход. Им на пути встретились два брата плюс и минус,и не могли они решить кто из них главный.И вызвал минус своего брата на дуэль.Но ноль остановил их и сказал, - «Ребята давайте жить дружно! Вы оба главные, мы натуральные числа не сможем обходиться без вас в королевстве Математика». И до-шли натуральные числа до княжества умножение и деление. Решили натуральные числа отдохнуть в этом княжестве, но нолю отказали в пропуске, потому что на ноль нельзя умножать и делить! Натуральные числа обиделись и вернулись домой.
Для n = 3 утверждение очевидно.
Предположим, что оно верно при n ≤ N. Пусть n = N + 1.
Утверждение верно, если в классе ровно один молчун. Пусть их не менее двух.
Выделим молчуна A и его друзей — болтунов B1, … ,Bk.
Для оставшихся n – 1 – k учеников утверждение верно, т.е. можно выделить группу M, в которой каждый болтун дружит с нечётным числом молчунов и в M входит не менее учеников.
Предположим, что болтуны B1, … ,Bm дружат с нечётным числом молчунов из M, а Bm + 1, … ,Bk — с чётным числом.
Тогда, если , то добавим к группе M болтунов B1, … ,Bm,
а если , то добавим к группе M болтунов Bm + 1, … ,Bk и молчуна A.
В обоих случаях мы получим группу учеников, удовлетворяющую условию задачи.