ответ: 1) в зависимости от правильности условия α=arctg(5/9) или α=arctg(14/9) 2) y= -x - 0,5
Пошаговое объяснение:1) f(x)= (x-5) /x, x₀=3 f'(x)= ((x-5)'·x - x'(x-5))/x² =( x-x+5)/x²=5/x² ⇒ f'(x₀)= f'(3)=5/9 ,⇒ tgα=5/9 ⇒ α=argtg(5/9)
Или если f(x) = x - (5/x), то f'(x)=1 +(5/x²) ⇒ tgα= f'(3)=1+(5/9)= 14/9 ⇒ α=argtg (14/9)
2)f(x) = 0,5x²-2x в точке х₀=1.
1. f(x₀)= 0,5·1² - 2·1= 0,5- 2= -1,5
2.f'(x)=x-2 ⇒ f'(x₀) = f'(1)=1-2= -1
Уравнение касательной у= f(x₀)+f'(x₀)·(x-x₀) ⇒ y= -1,5-1·(x-1) = -1,5-x+1= -x-0,5
Для дифференцирования понадобится несколько формул:
\begin{gathered}\left( f(x) + g(x) \right)' = f'(x) + g'(x)left( n\cdot f(x) \right)' = n\cdot f'(x)left( x^n \right)' = n \cdot x^{x-1}\end{gathered}
(f(x)+g(x))
′
=f
′
(x)+g
′
(x)
(n⋅f(x))
′
=n⋅f
′
(x)
(x
n
)
′
=n⋅x
x−1
Исходное выражение удобно представить в виде:
F(x) = 3 \sqrt[3]{x^2} - x = 3 x^{2/3} - xF(x)=3
3
x
2
−x=3x
2/3
−x
Продифференцировав его, получаем:
\begin{gathered}F'(x) = (3 x^{2/3} - x)' = (3 x^{2/3})' - (x)' = 3 \cdot \dfrac{2}{3} \cdot x^{2/3 - 1} - 1 = 2\cdot x^{-1/3} - 1 = \dfrac{2}{\sqrt[3]{x}} - 1F'(1) = \dfrac{2}{\sqrt[3]{1}} - 1 = 2 - 1 = 1\end{gathered}
F
′
(x)=(3x
2/3
−x)
′
=(3x
2/3
)
′
−(x)
′
=3⋅
3
2
⋅x
2/3−1
−1=2⋅x
−1/3
−1=
3
x
2
−1
F
′
(1)=
3
1
2
−1=2−1=1