Вдоль реки расположены деревни А, В и С, считая вниз по течению. Расстояние от А до В такое же, как от В до С. В
деревне В река расширяется, и скорость течения
уменьшается вдвое. Из-за этого получается, что если из С
в В моторная лодка идет 1 час, то продолжение поездки из
В в А длится уже 2 часа. Сколько длится поездка на той же лодке из А в С
1. Перепишем уравнение tg y = (4y - 5x) в виде: y = (1/4)tg y + (5/4)x.
2. Возьмем производную от обеих частей уравнения по переменной x. При дифференцировании правой части учтем, что tg y является функцией y, а x - независимой переменной. Получим:
dy/dx = d/dx [(1/4)tg y + (5/4)x].
3. Продифференцируем каждое слагаемое по отдельности, используя правила дифференцирования:
dy/dx = (1/4)d/dx(tg y) + (5/4)d/dx(x).
4. Чтобы продифференцировать первое слагаемое, воспользуемся цепным правилом дифференцирования. Для этого посчитаем производную (tg y) по y и умножим ее на производную y по x. Получим:
dy/dx = (1/4) * (1/cos^2 y) * dy/dx + 5/4.
5. Продифференцируем второе слагаемое, учтя, что x является независимой переменной. Получим:
dy/dx = (1/4) * (1/cos^2 y) * dy/dx + 5/4 + 5/4.
6. Выразим dy/dx, переместив первое слагаемое налево и сложив числители дробей:
dy/dx - (1/4) * (1/cos^2 y) * dy/dx = 10/4.
7. Вынесем общий множитель dy/dx за скобки:
(1 - (1/4) * (1/cos^2 y)) * dy/dx = 10/4.
8. Упростим дробь в скобках:
(3/4) * (1/cos^2 y) * dy/dx = 10/4.
9. Заметим, что (1/cos^2 y) = sec^2 y:
(3/4) * sec^2 y * dy/dx = 10/4.
10. Выразим dy/dx, разделив обе части на (3/4) и выполнив упрощение:
dy/dx = (10/4) / (3/4) / (sec^2 y).
11. Упростим дробь, разделив числитель и знаменатель на (4/4):
dy/dx = (10/3) / sec^2 y.
12. Используем то, что sec^2 y = 1/cos^2 y:
dy/dx = (10/3) / (1/cos^2 y).
13. Сократим дробь, перемножив числитель и знаменатель на cos^2 y:
dy/dx = (10/3) * cos^2 y.
Таким образом, производная функции tg y = (4y - 5x) по переменной x равна (10/3) * cos^2 y.