Основное свойство пропорции: произведение крайних членов пропорции равно произведению ее средних членов, т.е.:
если a : b = c : d, то: ad = bc
1). 6 : 4 = x : 5
4x = 5*6
x = 7,5 => 6 : 4 = 7,5 : 5
2). 9 : 2 = x : 7
2x = 9*7
x = 31,5 => 9 : 2 = 31,5 : 7
3). 16 : 12 = x : 17
12x = 16*17
x = 22 2/3 => 16 : 12 = 22 2/3 : 17
4). 2 1/3 : x = 4 : 4 1/2
4x = 2 1/3 * 4 1/2
x = 7/3 * 9/2 : 4
x = 21/8 = 2 5/8 => 2 1/3 : 2 5/8 = 4 : 4 1/2
Примем сторону основания за а.
Площадь основания равна а²3√3/2.
Проекция бокового ребра на основание равна а.
Тогда высота пирамиды Н = √(1 - а²).
Отсюда определяем функцию зависимости объёма пирамиды от величины стороны основания.
V = (1/3)SoH = (1/3)*(а²3√3/2)*√(1 - а²) = (а²3√3/2)*√(1 - а²)/6.
Производная этой функции равна y' = (а√3(2 - 3a²))/(2*√(1 - а²)).
Приравняем её нулю (достаточно числитель при условии а ≠ 1.
а√3(2 - 3a²) = 0,
2√3а - 3√3а³ = 0,
а(2√3- 3√3а²) = 0,
Получаем 3 корня. а = 0 (не принимаем), а = √(2/3) и а = -√(2/3), который тоже не принимаем.
ответ: сторона основания пирамиды с боковым ребром 1, при которой её объем будет наибольшим, равна √(2/3.
Объём равен V = (а²3√3/2)*√(1 - а²)/6 = 2/6 = 1/3.
Вникнув в условия задачи, вы сообразите, что если Лена добавит еще 1 открытку, то тогда она сможет разложить их и по 4, и по 5, и по 6. То есть их количество будет делиться на 4, на 5, на 6.
Такое число является наименьшим общим кратным чисел 4, 5 и 6, и равно 60. Теперь осталось убрать лишнюю открытку, получится 59 штук.