Question

решить однородное дифференциальное уравнение нужно
4xy'=y lnx- y lny

Answer 1

$4xy'=y \ln x- y\ln y$

$4xy'=y (\ln x- \ln y)$

$4xy'=y \ln \dfrac{x}{y}$

$4\cdot\dfrac{x}{y}\cdot y'= \ln \dfrac{x}{y}$

Замена:

$\dfrac{y}{x} =t$

$\Rightarrow y =tx$

$\Rightarrow y'=t'x+tx'=t'x+t$

Получаем уравнение:

$4\cdot\dfrac{1}{t}\cdot (t'x+t)= \ln \dfrac{1}{t}$

$4\cdot\dfrac{1}{t}\cdot (t'x+t)= -\ln t$

$4 (t'x+t)= -t\ln t$

$4 t'x+4t= -t\ln t$

$\dfrac{4xdt}{dx} =-t\ln t-4t$

$\dfrac{4dt}{t\ln t+4t} =-\dfrac{dx}{x}$

$\int\dfrac{4dt}{t\ln t+4t} =-\int\dfrac{dx}{x}$

$4\int\dfrac{dt}{t(\ln t+4)} =-\int\dfrac{dx}{x}$

$4\int\dfrac{d(\ln t)}{\ln t+4} =-\int\dfrac{dx}{x}$

$4\int\dfrac{d(\ln t+4)}{\ln t+4} =-\int\dfrac{dx}{x}$

$4\ln|\ln t+4| =-\ln|x|+\ln C$

$\ln(\ln t+4)^4 =\ln\dfrac{C}{x}$

$(\ln t+4)^4 =\dfrac{C}{x}$

Обратная замена:

$\boxed{\left(\ln \dfrac{y}{x} +4\right)^4 =\dfrac{C}{x}}$ - общий интеграл уравнения