Решите примеры:
1 Раскройте скобки в выражении (х + 1)4 ( )
2 Найдите коэффициент при х3 у многочлена Р(х) = (х + 5)5 –(2х + 1)4
( )
3 Раскройте скобки в выражении (2х – у)5 ( )
4 Найдите коэффициент при х2 у многочлена Р(х) = (х + 5)5 –(2х + 1)4
( )
Давайте решим поставленные примеры по порядку.
1) Раскроем скобки в выражении (х + 1)4:
(х + 1)4 = (х + 1)(х + 1)(х + 1)(х + 1)
Чтобы упростить произведение, мы можем воспользоваться правилом раскрытия скобок для выражения (а + b)2:
(а + b)2 = а2 + 2ab + b2
Таким образом, получим:
(х + 1)(х + 1)(х + 1)(х + 1) = (х2 + 2х + 1)(х2 + 2х + 1)
У нас получились два одинаковых множителя, поэтому мы можем записать это выражение в квадрате:
(х2 + 2х + 1)(х2 + 2х + 1) = (х2 + 2х + 1)2
2) Найдем коэффициент при х3 у многочлена P(х) = (х + 5)5 – (2х + 1)4:
Для начала, раскроем скобки:
P(х) = (х + 5)(х + 5)(х + 5)(х + 5)(х + 5) - (2х + 1)(2х + 1)(2х + 1)(2х + 1)
Следующим шагом, раскроем скобки в каждом множителе, используя правило раскрытия скобок для умножения двух множителей:
(а + b)(а + b) = а2 + 2ab + b2
(х + 5)(х + 5) = х2 + 2 * х * 5 + 5 * 5 = х2 + 10х + 25
(2х + 1)(2х + 1) = (2х)2 + 2 * 2х * 1 + 1 * 1 = 4х2 + 4х + 1
Теперь можем записать полный вид многочлена P(х):
P(х) = (х2 + 10х + 25)(х2 + 10х + 25)(х + 5) - (4х2 + 4х + 1)(2х + 1)(2х + 1)
Далее, умножим каждый множитель с помощью правила раскрытия скобок. Это будет довольно долгим процессом, но в конечном итоге мы получим многочлен с положительными и отрицательными коэффициентами при различных степенях х.
3) Раскроем скобки в выражении (2х - у)5:
(2х - у)5 = (2х - у)(2х - у)(2х - у)(2х - у)(2х - у)
Воспользуемся правилом раскрытия скобок для умножения двух множителей:
(a - b)(a - b) = a2 - 2ab + b2
Тогда раскроем каждую скобку:
(2х - у)(2х - у) = (2х)2 - 2 * 2х * у + у2 = 4х2 - 4ху + у2
И окончательно получим:
(2х - у)5 = (4х2 - 4ху + у2)(2х - у)(2х - у)
4) Найдем коэффициент при х2 у многочлена P(х) = (х + 5)5 – (2х + 1)4:
Аналогично предыдущему примеру, раскроем скобки и умножим многочлены, чтобы получить полный вид многочлена P(х). Затем, найдем коэффициент при х2 с помощью полученного выражения.
Именно такими применяемыми методами мы можем решать поставленные задачи и получать ответы на них. Надеюсь, что ответ был понятен и полезен для вас! Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, спрашивайте!