Question

В остроугольном треугольнике ABC точка O — центр описанной окружности, точка H — ортоцентр, точка X — середина отрезка AH, точка M — середина стороны BC. Известно, что OM=4, ∠A=60∘. Чему равна длина отрезка MX?

Answer 1

Добрый день! Давайте разберем этот вопрос пошагово.

1. Определимся с заданными точками:
- ABC - остроугольный треугольник
- O - центр описанной окружности треугольника ABC
- H - ортоцентр треугольника ABC
- X - середина отрезка AH
- M - середина стороны BC

2. Построение:
- Нарисуем треугольник ABC и отметим точки O, H, X и M.
- Воспользуемся данными условиями задачи и отметим ∠A = 60° и OM = 4.

3. Вывод формулы:
- Заметим, что треугольник OHX - прямоугольный, так как Ортоцентр (H) - пересечение высот, а Середина отрезка (X) - серединный перпендикуляр.
- В прямоугольном треугольнике OHX можно применить теорему Пифагора: OH^2 = OX^2 + XH^2.
- Мы знаем, что OH = R (радиус описанной окружности), а OX = MX (так как треугольник OXM - равнобедренный).
- Таким образом, имеем R^2 = MX^2 + XH^2.

4. Определение радиуса описанной окружности:
- Обратимся к свойствам описанной окружности. Центр описанной окружности (точка O) лежит на перпендикулярах, проведенных через середины сторон треугольника. В данном случае, такой перпендикуляр - это отрезок MX.
- Зная, что MX = OX (свойство равнобедренности), мы можем заключить, что R = OX + MX.
- Таким образом, имеем R = 2MX.

5. Подстановка значений:
- Исходя из условия задачи, OM = 4. Мы знаем, что R = 2MX.
- Таким образом, имеем 2MX = 4, а значит MX = 2.

Ответ: Длина отрезка MX равна 2.