Добрый день! Давайте решим поставленные вопросы по порядку.
1) Найдем промежутки возрастания и убывания функции.
А) Функция y = 2x³ + 6x² - 1 является многочленом третьей степени. Чтобы найти промежутки возрастания и убывания, нужно найти производную и найти ее корни.
y' = 6x² + 12x. Уравнение для нахождения корней производной будет 6x² + 12x = 0.
Факторизуем это уравнение: 6x(x + 2) = 0.
Из этого уравнения следует, что x = 0 и x = -2 являются корнями производной.
Теперь построим вторую производную:
y'' = 12x + 12.
Теперь мы можем проверить промежутки возрастания и убывания функции, используя вторую производную. Для этого нужно анализировать знаки второй производной в каждой области между корнями производной.
1. От -∞ до -2: Подставим x = -3 во вторую производную: y'' = 12(-3) + 12 = -24 < 0. Знак отрицательный, значит, функция убывает на этом промежутке.
2. От -2 до 0: Подставим x = -1 во вторую производную: y'' = 12(-1) + 12 = 0. Знак нулевой, значит, не можем сказать ничего о промежутке.
3. От 0 до +∞: Подставим x = 1 во вторую производную: y'' = 12(1) + 12 = 24 > 0. Знак положительный, значит, функция возрастает на этом промежутке.
Таким образом, функция y = 2x³ + 6x² - 1 возрастает на промежутке от 0 до +∞ и убывает на промежутке от -∞ до -2.
Б) Функция y = (x+2)/x³ является рациональной функцией. Чтобы найти промежутки возрастания и убывания, нужно найти производную и найти ее корни.
Сначала найдем производную функции: y' = (-2x² + x - 2)/x⁴.
Упростим эту формулу: y' = (-2x² + x - 2)/x⁴ = -2/x² + 1/x³ - 2/x⁴.
Найдем области, где производная равна нулю или не существует.
Для значения производной равной нулю:
-2/x² + 1/x³ - 2/x⁴ = 0.
Переносим все слагаемые на одну сторону: -2/x² + 1/x³ - 2/x⁴ = 0.
Общий знаменатель будет x⁴.
-2x² + x - 2 = 0.
Решим это уравнение:
2x² - x + 2 = 0.
Корни этого уравнения:
D = b² - 4ac = 1² - 4*2*2 = 1 - 16 = -15.
Так как дискриминант отрицателен, то уравнение не имеет вещественных корней, и производная не имеет нулевых значений.
Теперь найдем области, где производная не существует.
Производная не существует в точках, где знаменатель равен 0, то есть при x = 0.
Таким образом, можно сделать вывод, что функция y = (x+2)/x³ не имеет точек экстремума, а значит, не имеет и промежутков возрастания или убывания.
2) Найдем точки экстремума функции.
А) Функция y = x³ + 6x² - 15x - 3 является многочленом третьей степени. Чтобы найти точки экстремума, нужно найти производную и найти ее корни.
y' = 3x² +12x - 15. Уравнение для нахождения корней производной будет 3x² + 12x - 15 = 0.
Мы можем упростить это уравнение, разделив все слагаемые на 3:
x² + 4x - 5 = 0.
Теперь решим это квадратное уравнение:
(x + 5)(x - 1) = 0.
Таким образом, у нас есть два корня: x = -5 и x = 1.
Теперь построим вторую производную:
y'' = 6x + 12.
Чтобы найти точки экстремума, нужно найти значения x, для которых вторая производная равна 0.
6x + 12 = 0.
6x = -12.
x = -2.
Таким образом, у нас есть одна точка экстремума x = -2.
Теперь можем найти значение функции в точке x = -2:
y = (-2)³ + 6(-2)² - 15(-2) - 3 = -20.
Таким образом, точка экстремума равна (-2, -20).
Б) Функция y = x/4 + 4/x является рациональной функцией. Чтобы найти точки экстремума, нужно найти производную и найти ее корни.
Сначала найдем производную функции: y' = 1/4 - 4/x².
Уравнение для нахождения корней производной будет следующим:
1/4 - 4/x² = 0.
Перенесем все слагаемые на одну сторону:
1/4 = 4/x².
Возведем в квадрат обе части уравнения:
1/16 = 4/x².
Перенесем все слагаемые на одну сторону:
1/16 - 4/x² = 0.
Общий знаменатель будет 16x²:
1 - 64/x² = 0.
Умножим обе части уравнения на x²:
x² - 64 = 0.
(x + 8)(x - 8) = 0.
Корни этого уравнения:
x = -8 и x = 8.
Теперь построим вторую производную:
y'' = 8/x³.
Чтобы найти точки экстремума, нужно найти значения x, для которых вторая производная равна 0.
8/x³ = 0.
Следовательно, производная не имеет точек экстремума.
3) Построим эскиз графика функции f(x) на интервале [-2, 5].
Отрезок [-2, 5] содержит все точки, которые нам написали:
f(–2) = 3,
f(5) = 1,
f(2) = –5,
f(–1) = –1.
Также нам дано, что первая производная f'(-1) = 0 и f'(2) = 0, а f'(x) > 0 при x > 2.
Из этой информации, мы можем сделать следующие выводы о графике функции:
- В точках (-2, 3) и (5, 1) график будет проходить через данные точки.
- График будет проходить через точку (2, -5).
- График будет иметь касательную горизонтальную линию в точке (-1, -1), так как f'(-1) = 0.
- График будет иметь касательную горизонтальную линию в точке (2, -5), так как f'(2) = 0.
- График будет возрастать при x > 2, так как f'(x) > 0 при x > 2.
С учетом всех этих данных, можно начертить эскиз графика функции f(x) на интервале [-2, 5].
4) Нарисуем график функции y = x⁴ - 8x² + 2.
Для построения графика функции y = x⁴ - 8x² + 2 можно воспользоваться методом дополнения квадрата.
Выразим функцию y в виде полного квадрата:
y = (x²)² - 8x² + 2.
Теперь добавим и вычтем половину квадрата коэффициента при x:
y = (x²)² - 8x² + 4 - 4 + 2.
Заметим, что первые три слагаемых можно записать в виде:
y = (x² - 4)² - 4 + 2.
Применим функцию y = (x - a)² - b, чтобы построить график:
- a - координата вершины графика по оси x, в данном случае a = 0.
- b - смещение по оси y от вершины графика, в данном случае b = -4 + 2 = -2.
Точка вершины графика будет равна (0, -2).
Теперь можем построить график функции, зная, что у нас есть вершина (0, -2):
- График будет симметричен относительно оси y.
- График будет касаться оси x при x = 0.
- График будет сжиматься по оси x на интервале от -∞ до 0 и растягиваться на интервале от 0 до +∞.
Таким образом, приблизительный эскиз графика функции y = x⁴ - 8x² + 2 будет выглядеть так:
|
-|-
|
|
|
-2 ------(0, -2)----- 2 ----->
Надеюсь, что данное пояснение и пошаговое решение помогли вам понять данные функции и решить задачи. Если у вас есть еще вопросы по этой или другим математическим задачам, обязательно задавайте!
У нас дано квадратное уравнение (p-1)x^2 + (p-1)x - 1=0.
Шаг 1: Проверим условие для одного корня.
Уравнение имеет один корень, если дискриминант равен нулю. Дискриминант можно вычислить по формуле D = b^2 - 4ac, где a, b и c - коэффициенты уравнения.
В нашем случае a = p-1, b = p-1 и c = -1.
Подставим значения в формулу дискриминанта: D = (p-1)^2 - 4(p-1)(-1).
Шаг 2: Упростим выражение.
Раскроем квадрат и упростим полученное выражение: D = (p^2 - 2p + 1) - 4(-(p-1)).
Упростим выражение в скобках: D = p^2 - 2p + 1 + 4p - 4.
Сгруппируем похожие члены: D = p^2 + 2p - 3.
Шаг 3: Найдем значения параметра p, при которых D = 0.
Для того чтобы уравнение имело один корень, дискриминант должен быть равен нулю.
Подставим D = 0: p^2 + 2p - 3 = 0.
Шаг 4: Решим полученное квадратное уравнение.
Мы можем решить это уравнение факторизацией, использованием квадратного трёхчлена или применением формулы дискриминанта.
Для простоты решим его с помощью квадратного трёхчлена. Для этого найдем такое число, которое при возведении в квадрат даст 3, а при умножении на 2 и сложении с самим собой даст 2.
Пошаговое объяснение:
12 : 5 = 2 и остаток 2
Получаем 2 целых остаток (2) пишем в чилитель а в знаменатель делитель и получаем 2 целых 2/5
12 : 0,5 = переведём 0,5 в обыкновенную дробь: 0,5 = 5/10 сократим на 5 = 1/2)
12 : 1/2 = 12 * 2/1 = 24/1 = 24
1,2 : 5 = 1 целая 2/10 : 5 =
Сократим на 2 = 1 1/5 : 5 = 6/5 * 1/5 = 6/25