Дим Димыч — хороший мальчик, но иногда врёт, 3 % его ответов ложные. Со стороны невозможно определить, врёт он или говорит правду. Нолик нашёл самодельный «детектор лжи», который не всегда правильно отличает правду от лжи. Если человек врёт, то детектор с вероятностью 97 % подтвердит, что он действительно врёт. А тому, кто говорит правду, детектор с вероятностью 93 % покажет, что он говорит правду. Нолик спросил Дим Димыча, взял ли он конфету Симки, и использовал «детектор лжи» для проверки правдивости ответа. Детектор показал, что Дим Димыч врёт. С какой вероятностью Дим Димыч действительно соврал? (ответ дать в процентах, округлив процент до целого числа.)
Пусть событие А - "Дим Димыч сказал правду", событие В - "детектор лжи показал, что Дим Димыч врёт".
Мы ищем вероятность того, что Дим Димыч действительно соврал при условии, что детектор лжи показал, что он врёт, т.е. нужно найти вероятность P(А|В).
Из условия задачи мы знаем, что P(В|А) = 97% и P(А|В') = 93%, где В' - событие, противоположное событию В.
Используя формулу условной вероятности, мы можем выразить P(А|В) через данные вероятности:
P(А|В) = (P(В|А) * P(А)) / P(В)
Так как события А и В полностью исключают друг друга (Дим либо врёт, либо говорит правду), то P(А) = 1 - P(В'), т.е. вероятность события А равна 1 минус вероятность, что детектор покажет, что Дим говорит правду, но на самом деле врёт.
P(В) можно выразить через условную вероятность P(В|А) и безусловную вероятность P(А).
P(В) = P(В|А) * P(А) + P(В|А') * P(А')
Вероятность P(А') равна 1 минус вероятность P(А), т.е. P(А') = 1 - P(А).
Подставляя полученные значения в формулу условной вероятности, получаем:
P(А|В) = (P(В|А) * P(А)) / (P(В|А) * P(А) + P(В|А') * P(А'))
P(А|В) = (0.97 * (1 - P(В'))) / (0.97 * (1 - P(В')) + 0.03 * P(В'))
Теперь мы можем приступить к пошаговому решению:
1. Найдем безусловные вероятности P(А) и P(В'):
P(А) = 1 - P(В') = 1 - 3% = 97%
P(В') = 3%
2. Подставим значения в формулу условной вероятности:
P(А|В) = (0.97 * (1 - 0.03)) / (0.97 * (1 - 0.03) + 0.03 * 0.03)
3. Произведем вычисления:
P(А|В) = (0.97 * 0.97) / (0.97 * 0.97 + 0.03 * 0.03) ≈ 0.9688
4. Переведем полученную вероятность в проценты, округлив до целого числа:
Вероятность P(А|В) ≈ 96%
Таким образом, с вероятностью около 96% Дим Димыч действительно соврал.