Question

Если натуральное число n меньше суммы трех его наибольших натуральных делителей (исключая само число n), то обязательно а) n делится на 4 б) n делится на 7 в) n делится на 5 г) n делится на 6 д) таких n не существует

Answer 1

Есть натуральное число N. 
Чтобы получить наибольший делитель, нужно число N разделить на наименьший делитель: 1, 2, 3, 4, 5,....
Так как N/1 = N исключено в условии, то наибольшими делителями в лучшем случае будут N/2, N/3, N/4. Сумма удовлетворяет условию
$\frac{N}{2} + \frac{N}{3} + \frac{N}{4} = \frac{6N+4N+3N}{12} = \frac{13}{12}N \ \textgreater \ N$ 
Если один из наименьших делителей 2,3,4 заменить следующим (5), то сумма перестанет удовлетворять условию
$\frac{N}{2} + \frac{N}{3} + \frac{N}{5} = \frac{15N+10N+6N}{30} = \frac{21}{30}N \ \textless \ N$
Любое следующее увеличение наименьшего делителя ведет к уменьшению суммы наибольших делителей, которая будет меньше числа N, что не удовлетворяет условию задачи.

Таким образом, число N будет меньше суммы его наибольших делителей только в том случае, если эти делители  N/2, N/3, N/4, т.е. число N обязательно делится на 4, обязательно делится на 6. 
Наименьшее такое число   N=12  не делится на 5 и на 7
12 < 13 = 6 + 4 + 3    

ответ: а) N делится на 4;  г) N делится на 6