Выяснить, равносильны ли неравенства : (х-1)(х+2) < 0 и х² + х < 2
Решение
Определение. Два неравенства с одной переменой f(x)>g(x) и h(x)>q(x) называются равносильными, если множества решений этих неравенств совпадают, т.е. общие решения у них одинаковые.
(х-1)(х+2) < 0
x₁ = 1; x₂ = - 2
x∈ (- 2; 1)
х² + х < 2
x² + x - 2 < 0
x₁ = - 2
x₂ = 1
x∈ (- 2;1)
Получили что множества решений данных неравенств совпадают, т.е. общие решения у них одинаковые.
Для начала разберемся с определениями, чтобы правильно ответить на заданный вопрос.
Соответствие между набранным студентом количеством (от 1 до 100) и его отметкой (от 2 до 5) обозначает связь между каждым числом из диапазона от 1 до 100 и соответствующей ему отметкой. На основе этого, можно ответить на поставленные вопросы:
1. Является ли это соответствие всюду определенным?
Да, это соответствие является всюду определенным, потому что все числа от 1 до 100 имеют соответствующие им отметки от 2 до 5. То есть, у каждого числа есть соответствующая ему отметка.
2. Является ли это соответствие функциональным?
Да, это соответствие является функциональным, так как каждому числу из диапазона от 1 до 100 соответствует только одна отметка. Например, числу 1 соответствует отметка 2, числу 2 - отметка 3 и т.д. Это означает, что каждому входному значению (числу) соответствует ровно одно выходное значение (отметка).
3. Является ли это соответствие инъективным?
Нет, это соответствие не является инъективным, так как некоторым отметкам соответствует несколько чисел. Например, отметка 4 соответствует числам 76, 77 и 78. Это означает, что у нескольких входных значений (чисел) может быть одинаковое выходное значение (отметка).
4. Является ли это соответствие сюръективным?
Нет, это соответствие не является сюръективным, так как не все отметки имеют соответствующие им числа. Например, отметке 5 не соответствует ни одно число из данного диапазона. Это означает, что не все выходные значения (отметки) достигаются с помощью входных значений (чисел).
5. Является ли это соответствие взаимно однозначным (биективным)?
Нет, это соответствие не является взаимно однозначным (биективным), так как у некоторых чисел есть несколько отметок, а у некоторых отметок нет соответствующих чисел. Взаимная однозначность означает, что каждому входному значению (числу) должно соответствовать ровно одно выходное значение (отметка), и наоборот.
Теперь давайте продолжим это соответствие на всё множество от 1 до 100 и зададим его правилом:
Для этого можно использовать формулу: отметка = 2 + (набранное количество числа - 1) % 4.
Разберем формулу поэлементно:
- "отметка" обозначает соответствующую отметку для заданного числа;
- "2" - это минимально возможная отметка, которая соответствует числу 1;
- "(набранное количество числа - 1)" обозначает разницу между набранным числом и минимально возможным числом (1), чтобы учесть сдвиг отсчета;
- "% 4" обозначает операцию получения остатка от деления на 4. Она нужна для того, чтобы обеспечить повторение отметок от 2 до 5 в циклическом порядке.
Таким образом, данная формула позволяет найти соответствующую отметку для любого числа из диапазона от 1 до 100.
Надеюсь, ответ был понятен. Если у тебя возникнут еще вопросы - не стесняйся задавать их!
Чтобы решить эту задачу, мы будем использовать метод вероятностей.
Для начала, нам нужно посчитать общее количество возможных исходов перекладывания 2-х шаров из первой урны во вторую. В первой урне у нас 7 шаров (3 белых и 4 черных), поэтому количество возможных исходов будет равно C(7, 2), где C - это комбинаторное число и обозначает количество способов выбрать 2 элемента из 7. Вычислим его:
Таким образом, у нас есть 21 возможный исход переноса 2-х шаров из первой урны во вторую.
Теперь нам нужно посчитать количество исходов, когда мы достаем из второй урны белый шар после перекладывания. Для этого нам нужно рассмотреть все возможные варианты перекладывания из первой урны во вторую и посчитать количество исходов, когда мы достаем белый шар.
Перекладывание может быть следующим:
- вынимаем 2 белых шара из первой урны и кладем во вторую;
- вынимаем 1 белый и 1 черный шары из первой урны и кладем во вторую; или
- вынимаем 2 черных шара из первой урны и кладем во вторую.
1) Вынимаем 2 белых шара из первой урны и кладем во вторую. В первой урне у нас 3 белых и 4 черных шара, поэтому количество способов выбрать 2 белых шара будет C(3, 2), и также количество способов выбрать 2 шара из первой урны будет C(7, 2). Вычисляем:
C(3, 2) = 3! / (2!(3-2)!) = 3! / (2! * 1!) = 3.
Таким образом, у нас есть 3 возможных исхода, когда мы вынимаем 2 белых шара из первой урны и перекладываем во вторую.
2) Вынимаем 1 белый и 1 черный шары из первой урны и кладем во вторую. В первой урне у нас 3 белых и 4 черных шара, поэтому количество способов выбрать 1 белый и 1 черный шары будет C(3, 1) * C(4, 1), и количество способов выбрать 2 шара из первой урны будет C(7, 2). Вычисляем:
C(3, 1) * C(4, 1) = (3 * 4) = 12.
Таким образом, у нас есть 12 возможных исходов, когда мы вынимаем 1 белый и 1 черный шары из первой урны и перекладываем во вторую.
3) Вынимаем 2 черных шара из первой урны и кладем во вторую. В первой урне у нас 3 белых и 4 черных шара, поэтому количество способов выбрать 2 черных шара будет C(4, 2), и количество способов выбрать 2 шара из первой урны будет C(7, 2). Вычисляем:
Таким образом, у нас есть 6 возможных исходов, когда мы вынимаем 2 черных шара из первой урны и перекладываем во вторую.
Теперь, чтобы найти вероятность извлечения белого шара из второй урны после перекладывания, нам нужно сложить количество исходов, когда мы достаем белый шар, и поделить его на общее количество возможных исходов перекладывания. В нашем случае, количество исходов, когда мы достаем белый шар, равно 3 (из пункта 1) + 12 (из пункта 2), и общее количество возможных исходов перекладывания равно 21. Вычисляем вероятность:
Вероятность = (количество исходов, когда мы достаем белый шар) / (общее количество возможных исходов перекладывания) = (3 + 12) / 21 = 15 / 21 = 5 / 7.
Итак, вероятность того, что извлеченный из второй урны шар окажется белым, равна 5/7 или примерно 0.71 (округлив до двух десятичных знаков).
Я надеюсь, что мое объяснение было понятным и помогло вам разобраться с этой задачей. Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать!
Пошаговое объяснение:
Выяснить, равносильны ли неравенства : (х-1)(х+2) < 0 и х² + х < 2
Решение
Определение. Два неравенства с одной переменой f(x)>g(x) и h(x)>q(x) называются равносильными, если множества решений этих неравенств совпадают, т.е. общие решения у них одинаковые.
(х-1)(х+2) < 0
x₁ = 1; x₂ = - 2
x∈ (- 2; 1)
х² + х < 2
x² + x - 2 < 0
x₁ = - 2
x₂ = 1
x∈ (- 2;1)
Получили что множества решений данных неравенств совпадают, т.е. общие решения у них одинаковые.
Значит данные неравенства равносильны.