Question

Определить экстремум функции (визначити екстремум функції): y=x-ln(1+x)

Answer 1

Хм... Берем производную этой функции: 1 - 1/In(1+x).

Производная обращается в 0 только в одной точке: х = e - 1. Это точка экстремума.

Подставляем это значение в исходную функцию, получаем:

e-1 - In (1 + e - 1) = e

y = е - экстремум.

Остались вопросы - пишите в личку.

Answer 2

1. находим производную $y'=(x-\ln(1+x))'=1-\frac{1}{x+1}$

2. приравняем к 0, находим стационарную точку (необходимое условие существования экстремума)$1-\frac{1}{x+1} = 0 = x=0$

3. проверяем изменение знака при переходе через стационарную точку (достаточное условие существования экстремума - изменение знака )

$f'(-0.5) =1-\frac{1}{x+1} = 1-\frac{1}{-0.5+1} = 1 - 2 = -2 <0 \\ f'(0.5) =1- \frac{1}{x+1} = 1- \frac{1}{0.5+1} = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3} 0$

знак поменялся - экстремум, а так как с "-" на "+" - точка минимума

(0;0) - точка  минимума