Question

Вычислить двойные интегралы все задания

Answer 1

Пошаговое объяснение:

1) с первым интегралом все достаточно просто

здесь мы перейдем к повторным интегралам и получим вот что

$\int\limits^3_1 {} \, dy \int\limits^1_0 {\frac{y^2}{1+x^2} } \, dx$

сначала вычисляем внутренний интеграл

$\int\limits^1_0 {\frac{y^2}{x^2+1} } \, dx = y^2arctgxI_0^1=\frac{\pi y^2}{4}$

теперь вычисляем внешний интеграл

$\int\limits^3_1 {\frac{\pi y^2}{4} } \, dy =\frac{\pi y^3}{12} I_1^3=\frac{13\pi }{6}$

это и есть ответ  $\frac{13\pi }{6}$

2) со вторым придется построить графики, чтобы определить границы интегрирования по х

тут мы видим, что х изменяется  0≤х≤4

в общем-то нижний предел интегрирования можно было бы найти и путем выяснения, в какой точке пересекаются графики (через уравнение х/2 = х корень данного уравнения х=0), но лучше все же строить график

теперь, собственно приступаем к переходу и интеграции

$\int\limits^x_{\frac{x}{2} } {} \, dy\int\limits^4_0 {(x^3+y^3)} \, dx$

внутренний интеграл

$\int\limits^4_0 {(x^3+y^3)} \, dx = \frac{x^4}{4} I_0^4+xy^3 I_0^4= 4y^3+64$

внешний интеграл

$\int\limits^x_{\frac{x}{2} } {(4y^3+64)} \, dy = y^4I_x^{\frac{x}{2}}+64yI_x^{\frac{x}{2}}=\frac{15x^4}{16}+32x}$

ответ   $\frac{15x^4}{16}+32x}$